Re: Somme et produits de nombres complexes

Le 14/04/2025 à 12:00, Olivier Miakinen a écrit :

Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :

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Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que le
produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, l'ensemble
n'était pas précisé...

 On a vu qu'avec des réels quelconques ce n'est pas très intéressant.
 Qu'en est-il si on doit choisir A et B parmi les entiers de Gauss ?
 

Non, ça n'a pas d'intérêt non plus car on voit immédiatement qu'il n'y a pas de solution dans les entiers de Gauss.
Si A=x+iy avec x,y entiers, on doit avoir B=z-iy pour que la somme A+B soit réelle.
Pour que le produit AB soit réel on doit avoir
(x+iy)(z-iy) = xz+y^2 + y(z-x)i réel, d'où y=0 ou x=z
Donc
1/ si y=0 on veut trouver 2 entiers x,z tels que xz est premier ce qui est évidemment impossible.
2/ si x=z, alors A+B=2x et il ne peut pas être premier.
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F.J.