Re: Un petit problème de math

Bonjour,

Le 24/04/2025 à 22:40, efji a écrit :

Une fois n'est pas coutume, un petit problème pour vous détendre, dont
la résolution ne nécessite aucune connaissance particulière supérieure
au programme de seconde. Mais un peu d'astuce quand même :)
 
Soit f(x) = ax^2+bx+c une fonction quadratique avec a,b,c réels, qui
n'admet aucune racine réelle. Montrez que
a(2a+3b+6c) > 0

Ça a l'air intéressant. Je réfléchis au fur et à mesure de la
rédaction de cette réponse.

Tout d'abord, puisque la fonction est quadratique, cela veut dire
que a n'est pas égal à zéro. On peut alors tout diviser par a pour
obtenir une autre fonction quadratique qui n'a pas non plus de
racine réelle : g(x) = x^2 + (b/a)x + (c/a), et on veut alors
montrer que a^2(2 + 3(b/a) + 6(c/a)) > 0, c'est-à-dire, puisque
a^2 > 0, que 2 + 3(b/a) + 6(c/a) > 0

Puisque g(x) tend vers plus l'infini lorsque x tend vers l'infini,
l'énoncé peut être reformulé ainsi :
Soit g(x) = x^2 + (b/a)x + (c/a) une fonction quadratique avec
a,b,c réels telle que g(x) > 0 pour tout x. Montrez que
2 + 3(b/a) + 6(c/a) > 0.

Soient u et v les deux racines (non réelles) de la fonction g, qui
d'ailleurs sont aussi celles de la fonction f. J'appelle s=u+v leur
somme et p=uv leur produit.
On a g(x) = x^2 + (b/a)x + (c/a) = (x-u)(x-v) = x^2 - sx + p, et on
veut montrer que si g(x) est toujours > 0 alors 2-3s+6p > 0

Première remarque, g(0) = p, donc p > 0. Ça veut dire que si s <= 2/3
la propriété cherchée est immédiatement vérifiée.

Il reste donc à prouver la chose suivante :
 Soit g(x) = x^2 - sx + p  avec p > 0 et s > 2/3
 Montrer que si g(x) est toujours strictement positive
 alors 2-3s+6p > 0

Mais au fait on peut connaitre le minimum de la fonction g. Il est
atteint en x = s/2 et vaut g(s/2) = -s^2/4 + p

Il reste donc à prouver la chose suivante.
 Soit s un réel positif > 2/3 et p un réel positif > s^2/4
 Montrer que 6p+2 > 3s

De s > 2/3 et p > s(s/4), on a p > (2/3)(s/4) = s/6
Donc 6p > s, mais ça ne suffit pas encore pour conclure.

Je m'arrête ici pour le moment, mais efji est-ce que tu es déjà
d'accord avec moi jusque là ?

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Olivier Miakinen