Re: Un petit problème de math (solution + bilan des IA)

Le 24/04/2025 à 22:40, efji a écrit :

Une fois n'est pas coutume, un petit problème pour vous détendre, dont la résolution ne nécessite aucune connaissance particulière supérieure au programme de seconde. Mais un peu d'astuce quand même :)
 Soit f(x) = ax^2+bx+c une fonction quadratique avec a,b,c réels, qui n'admet aucune racine réelle. Montrez que
a(2a+3b+6c) > 0
 

f(x) est du même signe que a.
Posons g(x) = cx^2+bx+a
Son discriminant vaut également b^2-4ac<0
b^2-4ac<0 => ac>0 => a et c sont de même signe et donc g(x) est du même signe que f(x), le signe de a.
Alors f(x)+g(y) est du signe de a pour tout x,y.
donc f(1)+g(2) = 2a+3b+5c est du signe de a
=> a(2a+3b+5c) > 0 => a(2a+3b+6c) = a(2a+3b+5c) + ac > 0
Les IA :
1/ Gemini (un cancre):
Ecrit une grande page de calculs ne menant à rien, puis, comme je l'ai souvent vu dans de nombreuses copies (en particulier à l'X...) ecrit fièrement en l'encadrant :
Donc a(2a+3b+6c) > 0
2/ Mistral AI Le Chat (un autre cancre):
Un peu similaire à Gemini, plein de calculs ne menant à rien, avec au passage une grosse erreur (a doit être positif pour que la fonction n'admette aucune racine réelle...) et également à la fin le fameux
Donc a(2a+3b+6c) > 0
3/ DeepSeek (pas mal):
Pour a>0 on a c>0, et 4ac>b^2 => 6c > 3b^2/(2a)
=> 2a(2a+3b+6c) > 4a^2+6ab+3b^2​
Le terme de droite est un polynôme du second degré en b dont le discriminant vaut -12a^2 < 0, il est donc du signe de son coefficient dominant (3), donc >0 => cqfd.
Pour a<0 : même raisonnement.
4/ ChatGPT (bien tenté mais faute de calcul!):
Il distingue aussi les cas a>0 et a<0, et trouve aussi
2a(2a+3b+6c) > 4a^2+6ab+3b^2​
Ensuite il factorise : 4a^2+6ab+3b^2​ = (2a+b)(2a+3b), ce qui est faux!
Avec cette factorisation fausse il poursuit de façon astucieuse en regardant la valeur du minimum en x_0 = -b/(2a) et la suite est juste, mais il nous a arnaqué au passage (et j'ai failli ne pas m'en apercevoir).
Conclusion : la Chine va nous bouffer tout crus...
NB: si vous réessayez vous n'obtiendrez pas forcément la même solution, et il se peut même qu'il trouve des solutions justes. Ces outils sont stochastiques et ne donnent pas les mêmes réponses à chaque fois.
--
F.J.