Re: Somme et produits de nombres complexes

Le 14/04/2025 à 14:39, Julien Arlandis a écrit :

Le 14/04/2025 à 13:45, efji a écrit :

Le 14/04/2025 à 12:00, Olivier Miakinen a écrit :

Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :

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Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que le
produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, l'ensemble
n'était pas précisé...

 On a vu qu'avec des réels quelconques ce n'est pas très intéressant.
 Qu'en est-il si on doit choisir A et B parmi les entiers de Gauss ?
 

 Non, ça n'a pas d'intérêt non plus car on voit immédiatement qu'il n'y a pas de solution dans les entiers de Gauss.
 Si A=x+iy avec x,y entiers, on doit avoir B=z-iy pour que la somme A+B soit réelle.
Pour que le produit AB soit réel on doit avoir
(x+iy)(z-iy) = xz+y^2 + y(z-x)i réel, d'où y=0 ou x=z
Donc
1/ si y=0 on veut trouver 2 entiers x,z tels que xz est premier ce qui est évidemment impossible.
2/ si x=z, alors A+B=2x et il ne peut pas être premier.

 Il y a la solution A=1+i, B=1-i et c'est me semble t-il la seule.

Pour que le produit soit un nombre premier, il faut que A=1 (ou B=1), sinon, le nombre n'est plus premier. Pour que la somme soit première, il faut donc ajouter 1. C'est impossible puisque l'un des deux nombres sera impair, donc divisible par 2. On a donc A=1 et B=1 qui marchent pour les réels, et c'est la seule solutions pour les réels. Pour les imaginaires pur, la solution est A=i et B=i. Pour les complexes de type 1+i, il faut se méfier de manipuler des nombres nuls sans qu'on s'en rende compte. Résumé : il faut différencier les nombres réels, les nombres imaginaires purs, et les nombres complexes.
Dire qu'un nombre réel ou imaginaire pur est premier ou non, cela se conçoit facilement. Dire qu'un nombre z=a+ib est premier ou non, ça n'a pas de sens, a fortiori si on les additionne et si on les multiplie pour savoir si le résultat sera premier.
R.H.