Attention, réponse en clair ! [Re: lim n sin(2pi exp(1) n!) ?]

Salut,

J'ai déjà répondu en ROT-13, et en deux messages, mais ce n'est pas
très pratique à lire. Du coup voici ma réponse en clair et en un seul
message. Attention, ne lisez pas la suite si vous ne voulez pas vous
divulgâcher ma solution.


Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :

Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice
qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort
intéressantes (mais trichez pas, hein ;) )
 
Sauriez vous calculer:
 
|        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
|       n->oo
 
En déduire que exp(1) est irrationnel.

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Première partie de la démonstration :
|        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
|       n->oo
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exp(x) = Somme(m=0 à oo, x^m/m!)
exp(1) = Somme(m=0 à oo, 1/m!)
exp(1)⋅n! = Somme(m=0 à oo, n!/m!)
          = Somme(m=0 à n, n!/m!) + Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)
          = (un entier) + Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)

Soit A(n) = Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)

Puisque exp(1)⋅n - A(n) est un entier, on a:
 sin(2pi⋅exp(1)⋅n!) = sin(2pi⋅A(n))

Explicitons A(n).
 A(n) = 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ...

D'une part chacun de ces termes est positif, donc A(n) > 1/(n+1).

D'autre part, chacun des (n+k) est supérieur à (n+1) pour k>1, donc
chacun des 1/(n+k) est inférieur à 1/(n+1), d'où :
 A(n) < 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+1) + 1/(n+1)(n+1)(n+1) + ...
C'est une série géométrique dont la somme est 1/n.

En résumé, 1/(n+1) < A(n) < 1/n.
On pourrait l'exprimer plus rigoureusement, mais quand n tend vers
l'infini A(n) se comporte comme 1/n.

Du coup :
 lim(n->oo) n⋅sin(2pi.A(n))
 = lim(n->oo) n⋅sin(2pi/n)
 = lim(n->oo) 2pi⋅sin(2pi/n)/(2pi/n)
 = lim(x->0) 2pi⋅sin(x)/x
 = 2pi⋅lim(x->0) sin(x)/x
 = 2pi

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Deuxième partie de la démonstration :
En déduire que exp(1) est irrationnel.
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Supposons que exp(1) soit rationnel. On peut alors l'écrire exp(1)=a/b.
On a alors exp(1)×b! = a×(b-1)! qui est un entier, et pour tout n > b
exp(1)×n! = a×(b-1)!×(b+1)×...×n qui est aussi un entier. Par conséquent
à partir de n=b on a toujours n sin(2pi exp(1) n!) = 0, et la limite
vaut 0.

Or on a vu que cette limite vaut 2pi et non 0. L'hypothèse qui est
contredite est celle selon laquelle exp(1) serait rationnel.

En conclusion, exp(1) est irrationnel. CQFD.


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Olivier Miakinen