Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :

Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
 | (x+y)(1-xy)  |   1
|−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
| (1+x²)(1+y²) |   2

Bon j'y vais en mode "bourrin", je note
     f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)]
Je vois que
     lim  f(x) = -y/(1+y²)
         +-oo
et que cette limite (L) est la même en +-oo et se situe entre -1/2 et +1/2 (faire le tableau de variation et déduire.)
Je calcule ensuite:
     f'(x) = (x²(y²-1) - 4xy - y² + 1) / [(x²+1)²(y²+1)]
Je cherche le x qui annule cette dérivée, c'est à dire:
     g(x) =  x²(y²-1) - 4xy - y² + 1 = 0
Remarquons que le signe de f' est celui de g qui est une parabole, ce qui veut dire que le tableau de variation de f' est tout simple :)
Pour résoudre g(x)=0, on remarque qu'on a un beau système du second degré en x qui a deux solutions plutôt simples:
     x1 = (y + 1) / (y - 1)
     x2 = (1 - y) / (y + 1) = -1/x1 (x1 et X2 sont de signe opposés)
La dessus, on note x3 = (x1+x2)/2 la valeur milieu entre ces deux zéro ce qui est pratique pour connaitre l'allure de la parabole g donc le signe de f'.
Quelques petits calculs donnent alors:
     x3 = 2y / (y² - 1)
et
     f(x1) = -1/2,
     f(x2) = 1/2,
     f(x3) = -y / (y² + 1)
ainsi que
     g(y3) = - (y²+1)²/(y²-1) dont le signe dépend de celui de y²-1
Faisons maintenant 3 cas suivant la position de y:
A) y < -1, alors g(x3)<0, et x2<0, x1>0, et 0 <= L (et toujours <= 1/2 bien entendu)
Le tableau de variation est alors celui ci:
x  |-oo        x2       x3        x1        +oo
f' |      +    0        -         0    +
f  | 0<=L      1/2              -1/2        L<=1/2
Comme 0<= L <= 1/2, on en déduit que -1/2 <= f <= 1/2
B) -1<y<1, alors g(x3)>0, et x1<0 x2>0
x  |-oo        x1       x3        x2        +oo
f' |      -    0        +         0    -
f  | 1/2>=L   -1/2               1/2        L>=-1/2
Là encore on conclue que -1/2 <= f <= 1/2
C) y>1, alors g(x3)>0, x2<0 et x1>0, ce qui nous ramène au cas A)
Ah oui restent les cas y=+-1, qui se simplifient avec
     f(x)  = (x-1)(x+1)/[(1+x²)(2)] = 1/2  (x²-1)/(1+x²)
     f'(x) = 2x/(1+x²)² --> signe de x
x |  -oo         0       +oo
f'|         -    0   +
f | 1/2>=L     -1/2     L<=1/2
Bref dans tous les cas on a -1/2 <= f <= 1/2 sans utiliser l'indice rot13 mais en y allant bourrin avec les dérivées et les tableaux de variation ce qui est à la portée d'un élève de Lycée.
sam (sauf erreur de calcul)