Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 19/08/2021 à 15:28, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :

Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
>
| (x+y)(1-xy)  |   1
|−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
| (1+x²)(1+y²) |   2

 Bon j'y vais en mode "bourrin", je note
      f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)]

Bon je n'avais pas compris la question, vu le formatage. Voici une solution, dont je développe le calcul avec maxima:
Maxima 5.43.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp SBCL 2.0.1.debian
...
(%i1) display2d:false;
(%o1) false
(%i2) subst([x=tan(u),y=tan(v)],(x+y)*(1-x*y)/((1+x^2)*(1+y^2)));
(%o2) ((tan(v)+tan(u))*(1-tan(u)*tan(v)))/((tan(u)^2+1)*(tan(v)^2+1))
(%i3) trigrat(%);
(%o3) sin(2*v+2*u)/2
d'où il est clair que le module est inférieur à 1/2.  Le changement de variable est évidemment suggéré par la formule tan(x+y)=...
Calcul à la main: d'abord
((tan(v)+tan(u))*cos(u+v)/(cos(u)*cos(v))*(cos(u)*cos(v))^2   puis
sin(u+v)*cos(u+v)
soit sin(2*(u+v))/2  donc c'est très simple.
--
Michel Talon