Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 19/08/2021 à 15:28, Samuel DEVULDER a écrit :

 
Bon j'y vais en mode "bourrin", je note
 
     f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)]
 
Je vois que
 
     lim  f(x) = -y/(1+y²)
         +-oo

Je le confirme.

 
et que cette limite (L) est la même en +-oo et se situe entre -1/2 et
+1/2 (faire le tableau de variation et déduire.)

Oui. La fonction h(y) = -y/(1+y²) est d'abord croissante de 0 à 1/2,
puis décroissante de 1/2 à -1/2, et enfin croissante de -1/2 à 0.
Pour ça j'ai calculé h'(y) = (y²-1)/(y²+1)² qui s'annule en -1 et +1.

 
Je calcule ensuite:
 
     f'(x) = (x²(y²-1) - 4xy - y² + 1) / [(x²+1)²(y²+1)]

Oui. Il ne faut pas se tromper dans le calcul, et j'ai eu la chance d'y
arriver du premier coup.

 
Je cherche le x qui annule cette dérivée, c'est à dire:
 
     g(x) =  x²(y²-1) - 4xy - y² + 1 = 0
 
Remarquons que le signe de f' est celui de g qui est une parabole, ce
qui veut dire que le tableau de variation de f' est tout simple :)
 
Pour résoudre g(x)=0, on remarque qu'on a un beau système du second
degré en x qui a deux solutions plutôt simples:
 
     x1 = (y + 1) / (y - 1)
     x2 = (1 - y) / (y + 1) = -1/x1 (x1 et X2 sont de signe opposés)

C'était à mon avis la partie la plus satisfaisante de l'exercice, quand
on s'aperçoit que le discriminant (ou discriminant réduit) s'exprime
simplement sous la forme d'un carré.

 
La dessus, on note x3 = (x1+x2)/2 la valeur milieu entre ces deux zéro
ce qui est pratique pour connaitre l'allure de la parabole g donc le
signe de f'.
 
Quelques petits calculs donnent alors:
 
     x3 = 2y / (y² - 1)

Oui. Si on est passé par « x1,x2 = (2y±(y²+1))/(y²-1) », il suffit de
retirer le « ±(y²+1) » pour obtenir x3.

 
et
     f(x1) = -1/2,

Bon, alors là j'ai plutôt galéré, mais après avoir corrigé mon erreur de
calcul j'y suis arrivé aussi.

     f(x2) = 1/2,

L'expérience du calcul précédent m'a évité une erreur de calcul ici, et
je trouve la même chose.

     f(x3) = -y / (y² + 1)

Et à partir de là j'ai la flemme. Je te fais confiance pour la suite des
calculs, mais je n'ai plus le courage de les vérifier.

Je fais confiance aussi au logiciel de calcul formel qu'a utilisé Michel
Talon, et je vais aller lire la solution de MAIxxxx.

--
Olivier Miakinen