Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 21/08/2021 à 18:52, Samuel DEVULDER a écrit :

 Pour montrer que ces diviseurs sont d'ordre k, il faut aussi montrer que ce sont des diviseurs de d^k/da^k D(a,b,c) ce qui fait penser aux formules de Jacobi et à l'utilisation des dérivées comme le fait Olivier.

[ce que je dis n'est pas vérifié formellement. J'essaye de voir des pistes prometteuse et j'avance en live dans mon écriture]
En regardant cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=Ue7fKNafS40
On voit que pour calculer la dérivée du déterminant il faut sommer les déterminants en dérivant chacune des lignes (je suppose que c'est ce que la formule de Jacobi réalise formellement).
Mettons que notre matrice de départ s'écrive en découpant par ligne:
A = [L(a)
      L(b)
      L(c)
      L'(a)
      L'(b)
      L'(c)
      L"(a)
      L"(b)]  (<== c'est chiant le ascii-art)
avec L(x) = [1 x x² x^3 .. x^7] une ligne.
On note déterminant
D(a,b,c) = | L(a)  |
            | L(b)  |
            | L(c)  |
            | L'(a) |
            | L'(b) |
            | L'(c) |
            | L"(a) |
            | L"(b) |
d/da D(a,b,c) = | d L(a)/da |
                 | L(b)      |
                 | L(c)      |
                 | L'(a)     | --> 0 car L'(a) = d L(a)/da
                 | L'(b)     |
                 | L'(c)     |
                 | L"(a)     |   (je confirme c'est chiant de saisir ca en ascii)
                 | L"(b)     |
+
| L(a)      |
| d L(b)/da | --> 0 car d L(b)/da = 0
| L(c)      |
| L'(a)     |
| L'(b)     |
| L'(c)     |
| L"(a)     |
| L"(b)     |
+
| L(a)      |
| L(b)      | --> 0 car d L(c)/da = 0
| d L(c)/da |
| L'(a)     |
| L'(b)     |
| L'(c)     |
| L"(a)     |
| L"(b)     |
+
| L(a)      |
| L(b)      |
| L(c)      |
| d L'(a)/da| --> 0 car d L' = L"
| L'(b)     |
| L'(c)     |
| L"(a)     |
| L"(b)     |
+
| L(a)      |
| L(b)      |
| L(c)      |
| L'(a)     |
| d L'(b)/da| --> 0 car L'(b) ne dépends pas de a
| L'(c)     |
| L"(a)     |
| L"(b)     |
+
| L(a)      |
| L(b)      |
| L(c)      |
| L'(a)     |
| L'(b)     | --> 0 car L'(c) ne dépends pas de a
| d L'(c)/da|
| L"(a)     |
| L"(b)     |
+
| L(a)      |
| L(b)      |
| L(c)      |
| L'(a)     |
| L'(b)     | --> pas 0 !!
| L'(c)     |
| L"'(a)    |
| L"(b)     |
+
| L(a)      |
| L(b)      |
| L(c)      |
| L'(a)     |
| L'(b)     | --> 0 car L"(b) est indep de a
| L'(c)     |
| L'(a)     |
| d L"(b)/da|
Donc
d/da D(a,b,c) = | L(a)      |
| L(b)      |
| L(c)      |
| L'(a)     |
| L'(b)     |
| L'(c)     |
| L"'(a)    |
| L"(b)     |
qui s'annule pour a=b, a=c et b=c
On peut faire ca une nouvelle fois et on obtient le même résultat.. pour combien de fois ?
Et bien jusqu'à ce que le L^(k)(a) en avant dernière ligne soit nul, donc 5 fois.
Ca veut dire que d^k/da^k D(a,b,c) = 0 en a=b, a=c et b=c pour k=0..5
Donc (a-b)^6 divise D(a,b,c) idem pour (a-c) et (b-c)
Arg et c'est là que je réalise que je n'ai pas été malin, j'aurais du faire un d/dc, ce qui aurait permis de faire une dérivée 8 fois et voir qu'elle s'annule en a=b, et obtenir que (a-b)^9 divise D.
Du coup on a tous les facteurs de D(a,b,c) = constante * (a-b)^9 (a-c)^6 (b-c)^6
La constante se détermine avec par exemple a=1,b=c=0 et on doit trouver -4 (en toute logique. J'ai pas vérifié).)
Bon il faudrait refaire ca proprement.. mais il se fait tard et je dois me coucher. Je pense quand même que le calcul de la dérivée du déterminant ligne par ligne est l'idée de la preuve attendue.
C'est ca où je fais fausse route totale.
sam (se coucher tard, nuit)