Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 22/08/2021 à 01:40, Samuel DEVULDER a écrit :

      L"(a)
      L"(b)]  (<== c'est chiant le ascii-art)
avec L(x) = [1 x x² x^3 .. x^7] une ligne.

Pour éviter de se taper le ascii-art on peut demander à maxima de le faire:
(%i1) L(x):=[1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7];
                                     2   3   4   5   6   7
(%o1)               L(x) := [1, x, x , x , x , x , x , x ]
(%i2) M:matrix(L(a),L(b),L(c),diff(L(a),a),diff(L(b),b),diff(L(c),c),
diff(L(a),a,2),diff(L(b),b,2));
                 [        2     3     4      5      6      7   ]
                 [ 1  a  a     a     a      a      a      a    ]
                 [                                             ]
                 [        2     3     4      5      6      7   ]
                 [ 1  b  b     b     b      b      b      b    ]
                 [                                             ]
                 [        2     3     4      5      6      7   ]
                 [ 1  c  c     c     c      c      c      c    ]
                 [                                             ]
                 [               2     3      4      5      6  ]
                 [ 0  1  2 a  3 a   4 a    5 a    6 a    7 a   ]
(%o2)           [                                             ]
                 [               2     3      4      5      6  ]
                 [ 0  1  2 b  3 b   4 b    5 b    6 b    7 b   ]
                 [                                             ]
                 [               2     3      4      5      6  ]
                 [ 0  1  2 c  3 c   4 c    5 c    6 c    7 c   ]
                 [                                             ]
                 [                      2      3      4      5 ]
                 [ 0  0   2   6 a   12 a   20 a   30 a   42 a  ]
                 [                                             ]
                 [                      2      3      4      5 ]
                 [ 0  0   2   6 b   12 b   20 b   30 b   42 b  ]
Ce que tu fais est dans la ligne de la solution. Pour ma part je procéderais comme ceci:
M:matrix(L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v));
qui est un vrai Vandermonde et extraire le terme en x*y*z*u^2*v^2
en dérivant par rapport à x,y,z, et deux fois par rapport à u,v,
puis faire x=y=z=u=v=0.
Note, par rapport à ce que tu dis, je ne sais pas si c'est très clair
dans ton calcul. Quand on dérive le déterminant ci dessus  par rapport
à x, il y a exactement une ligne à dériver. Si on dérive par rapport à
a il y a 3 lignes à dériver.
Indication. Le déterminant de Vandermonde est un produit de termes
qui sont des différences. En particulier il y a
x*y*z*u*v*(u-x)*(v-z) en facteur, les autres termes contenant a ou b ou
c au moins. Quand on fait x=y=z=u=v=0 il faut que les dérivées aient porté entièrement sur le facteur ci-dessus, sinon il s'annulera
(il y a 7 dérivées et 7 termes dans le facteur).
--
Michel Talon