Re: Prouver une inégalité pour tout x et y

Le 22/08/2021 à 01:40, Samuel DEVULDER a écrit :

En regardant cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=Ue7fKNafS40
 On voit que pour calculer la dérivée du déterminant il faut sommer les déterminants en dérivant chacune des lignes

C'est une propriété très pratique et assez peu connue. Je ne trouve pas de démonstration formelle nulle part sur internet.

(je suppose que c'est ce que la formule de Jacobi réalise formellement).

Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au tableau. Un peu moins en ascii-art:
Soit une matrice carrée A = (Aij)  où les Aij sont des fonctions de x (je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que
Det(A) = Somme Det[ A'k ]
où A'k = (A11 ...  A1n)
      ( :        : )
              (Ak1' .. Akn')
      ( :        : )
      (An1 ... Ann )
(A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).
On procède par récurrence sur la taille n de la matrice A. Le cas de départ est trivial, je ne m'étends pas dessus. Regardons le cas pour B(x) de taille n+1.
Développons Det(B) suivant la 1ere ligne:
Det(B) = B11 Det(com11 B) + .. + B1n+1 Det(com1n+1)
où com_ij B est la comatrice en i,j.
Dérivons par rapport à x:
Det(B)' = B11' Det(com11 B)  + .. + B1n+1' Det(com1n+1 B)
        + B11  Det(com11 B)' + .. + B1n+1  Det(com1n+1 B)'
On voit facilement que la 1ère ligne de cette somme est en fait
     ( B11' ......... B1n+1'   )
Det  (  B21 ......... B2n+1    ) = Det(B'1)
     (    :                :   )
     (  B(n+1)1 .. B(n+1)(n+1) )
Remarquons ensuite que com1j B est une matrice de taille n, donc
on peut appliquer la récurrence sur elle et on obtient
Det(com1j B)' = Somme Det[ (com1j B)'k ]
Donc
Det(B)' = Det(B'1)
        + B11   [ Det (com11 B)'1   + ... + Det (com11 B)'n   ]
        + B12   [ Det (com12 B)'1   + ... + Det (com12 B)'n   ]
        +  :         :                             :
+ B1n+1 [ Det (com1n+1 B)'1 + ... + Det (com1n+1 B)'n ]
On distribue les B1j:
        = Det(B'1)
        + B11   Det (com11 B)'1   + ... + B11 Det (com11 B)'n
        + B12   Det (com12 B)'1   + ... + B12 Det (com12 B)'n
        +  :       :                          :
+ B1n+1 Det (com1n+1 B)'1 + ... + B1n+1 Det (com1n+1 B)'n
Or si on lit la "grosse somme" par "colonne" on a:
B11 Det(comm11 B)'1 + B12 Det(com12 B)'1 + .. B1n+1 Det(com1n+1 B)'1
qui est juste le développement suivant la 1ère ligne de :
    (B11  B12   ... B1n+1   )
Det (B21' B22'  ... B2n+1'  )
             ( :    :          :     )
             (Bn+1,1 ....... Bn+1,n+1)
=par def= Det(B'2)
Idem pour toutes les colonnes de 3 à n+1.
Bref,
Det(B)' = Det(B'1) + .. Det(B'n+1),
ce qui clos la démonstration hyper générale. Comme Det(A) = Det tr(A) (la transposée ne change pas le déterminant), on a la même propriété en dérivant les colonnes son on préfère.
sam.