Re: De la religiosité en mathématique

Le 06/09/2021 à 17:18, Python a écrit :

Richard Hachel (Lengrand) wrote:

Le 06/09/2021 à 16:27, Olivier Miakinen a écrit :
 

Voici ce que dit Newton sur les incréments infinitésimaux : "Si l'on prend un produit AB ou un rectangle AB et qu'on l'incrémente de la quantité a sur A, et b sur B,
a et b étant des infinitésimaux, on obtient la valeur Δ = Ab+Ba [...]

>
Tu ne vas pas revenir là-dessus, si ? Quel intérêt ?

 L'intérêt de comprendre comment dans un problème très simple, et de niveau lycée (c'est quand même pas difficile à comprendre le problème posé) deux grands maîtres peuvent s'opposer.

 Pourtant tu échoues lamentablement à le comprendre.

Ha, non, moi, pas du tout. Mais bon, pour toi, Jean-Pierre, je vais récapituler. Le monsieur, il s'appelle Newton, et il a voulu montrer que la valeur de l'incrément d'un produit, ou d'un rectangle, qui était de Δ = Ab+Ba+ab (je pense qu'il le savait quand même, évidemment), devenait
Δ = Ab+Ba si les valeurs de a et b étaient infinitésimales. Ce que Berkeley réfute. Ce que je réfute aussi. Mais je réfute bien mieux que Berkeley, qui croit que l'erreur de Newton vient du fait qu'il considère que ab est une quantité négligeable, et qu'on peut s'en passer. Je dis que Newton se trompe carrément dans ses calculs, et j'ai expliqué pourquoi. Son erreur vient du fait qu'il confond la valeur A avec la valeur A', et la valeur B avec la valeur B'. Alors qu'on a manifestement A'=A+b/2 et B'=B+b/2
Il va donc se retrouver avec une équation Δ = Ab+Ba qui est fausse, en mathématique standard comme en mathématique infinitésimale. S'il avait écrit Δ = A'b+B'a  ou Δ = Ab+Ba+ab , il n'y aurait eu aucun problème. Comme je sais que tu es un fervent admirateur des belles descriptions mathématiques, je te laisse tracer
toi-même un rectangle AB donnant une surface S1, puis un rectangle (A+a)(B+b) de surface S2. Je te laisse calculer que l'incrément obtenu est Δ = Ab+Ba+ab, ce qu'un élève de troisième de mon temps savait faire sans problème (il parait que maintenant, ils ne savent même plus calculer la racine carrée de 139). Une fois cela fait, je te laisse dessiner une surface S', faites à partit de l'ajout des demi-incréments, et notée comme (A+a/2)(B+b/2) dont j'appellerai les cotés A' et B'.  Et de remarquer que si l'on précise bien ces choses, on voit et on comprend l'erreur de Newton.
Erreur que Berkeley pressentait, mais sans en donner la véritable causse, qu'il croyait être une simple négligence volontaire de ab. Or, l'erreur n'est pas là. Il ne la néglige pas, il se trompe simplement dans sa démonstration, en confondant A'B' et AB qui sont les côtés de S' (surface à demi-incrémentée) et de S1 (surface originelle).
Mais tout cela, tu vas le voir, Jean-Pierre.  Parce que tu es fort. Et parce que tu le vaux bien.
R.H.