Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers

Le 15/09/2021 à 11:00, ast a écrit :
(...)

>
L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
(0 est compris)
>
Et donc ... on peut faire plus simple :
>
posons F(0) = p (qui est donc premier)
>
  F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n
>
soit m un entier
>
  F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n
>
F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
donc F(m.p) = p pour tout entier m
(puisqu'il doit aussi être premier)
>
La conclusion est immédiate :
l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
F est constant.
>

 Effectivement, cette démonstration me parait à la fois
correcte et simple
 

bonjour,
En fait, prouver que c'est valable avec
"F(X) est premier pour presque tout entier X"
n'est guère moins simple.
La "Presque" signifie que seul un nombre fini de valeurs X
telles que F(X) est non premier.
(notons A l'ensemble fini de ces X malchançeux)
il suffit lorsque que l'on arrive à
"F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m"
d'ôter les éléments de A à la suite des m.p
Il reste donc un ensemble infini de m.p avec
F(m.p) premier donc égaux à p.
Ce qui suffit.
cordialement,
HB