Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers

Le 15/09/2021 à 12:07, HB a écrit :

Le 15/09/2021 à 11:00, ast a écrit :
(...)

>
L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
(0 est compris)
>
Et donc ... on peut faire plus simple :
>
posons F(0) = p (qui est donc premier)
>
  F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n
>
soit m un entier
>
  F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n
>
F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
donc F(m.p) = p pour tout entier m
(puisqu'il doit aussi être premier)
>
La conclusion est immédiate :
l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
F est constant.
>

 

>
Effectivement, cette démonstration me parait à la fois
correcte et simple
>

bonjour,
 En fait, prouver que c'est valable avec
"F(X) est premier pour presque tout entier X"
n'est guère moins simple.
 La "Presque" signifie que seul un nombre fini de valeurs X
telles que F(X) est non premier.
(notons A l'ensemble fini de ces X malchançeux)
 il suffit lorsque que l'on arrive à
 "F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m"
d'ôter les éléments de A à la suite des m.p
 Il reste donc un ensemble infini de m.p avec
F(m.p) premier donc égaux à p.
Ce qui suffit.
 cordialement,
 HB
 

 > La "Presque" signifie que seul un nombre fini de valeurs X
 > telles que F(X) est non premier.
Je ne suis pas sur de ça.
"presque tous" veut dire tous sauf un ensemble de mesure nulle.
Mais sur les entiers je ne voyais pas trop ce que ça voulait dire.
Après quelques recherches, j'ai trouvé ceci:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_n%C3%A9gligeable#En_arithm%C3%A9tique
La notion de sous ensemble de N asymptotiquement dense est définie.
Un tel sous ensemble contient "presque tous" les entiers.
Un exemple: Presque tous les entiers naturels sont non premiers
bien que les nombres premiers soient en nombre infini.