Re: Puissance complexe

Le 19/12/2021 à 12:22, pehache a écrit :

Le 19/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :

Le 19/12/2021 à 11:27, pehache a écrit :

Le 19/12/2021 à 09:47, Julien Arlandis a écrit :

Le 19/12/2021 à 09:17, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :

Peut on écrire :
1^x = (e^(2*i*pi))^x
= e^(2*i*pi*x)
= cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
Pour x réel ?

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x réel ? Ca colle pas au titre où tu parles d'une puissance complexe.
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Ton calcul n'est vrai que pour x entier. Pour les x réels arbitraires (négatifs par exemple) ou complexe il faut plutôt passer par la définition de a^x = exp(x*ln(a)), donc 1^x = exp(x*ln(1)) or ln(1)=0, donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1 pour tout x réel ou complexe.
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sam.

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La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels. Ce qui nous empêche de passer de la première ligne à la seconde ce serait donc le fait que b est complexe (b = 2*i*pi) ?
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La démonstration de cette règle à partir de la définition a^b=exp(b.ln(a)) implique forcément un ln() de complexe à un moment si b est complexe, or un ln() de complexe n'est pas défini de façon univoque, donc je suppose que c'est là que ça coince.

 Pourtant quand on calcule (exp(i*pi/2))^i = exp(i^2*pi/2) on applique bien la propriété (a^b)^c = a^(b*c).

 Je ne suis pas sûr que ce soit bien rigoureux, justement :)

Oui si on suit la recette de Sam ça fait
(exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))
Et ensuite... ?