Re: Puissance complexe

Le 19/12/2021 à 19:15, Julien Arlandis a écrit :

Oui si on suit la recette de Sam ça fait
(exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))
 Et ensuite... ?

Ensuite i = exp(i*(pi/2 + 2k.pi)), donc
ln(i) = (1/2 + 2k)*i*pi [1]
et z = i^i
      = exp(-(1/2 + 2k)pi)
      = exp(-pi/2) / exp(2k.pi)
z a plusieurs valeurs en fonction de k. Chacune d'elle vérifie
ln(z) = i ln(i)
à cause de [1].
Pour k=0 (branche principale du log), on obtient le classique
exp(-pi/2) = 0.202...
Mais pour k=1 on obtient 3.88e-4 (tiens plus petit), et quand on prend k de plus en plus positif on tends vers 0.
A l'inverse si k est de plus en plus négatif on tends vers +oo.
Toutes ces valeurs sont des réponses possibles possibles à i^i puis que leur log vaut l'une des valeurs de i*ln(i).
Toute la difficulté vient fait que ln(z) est un truc mal fichu. On a bien exp(ln(z)) = z, mais pas ln(exp(z)) = z dans les complexes. Il faut faire gaffe avec lui. Je ne sais pas s'il a un usage pratique chez les physiciens/chimistes ce log de nombre complexes. Peut-être du coté des machins quantiques, et encore.. enfin faudrait voir.
sam.