Re: Puissance complexe

Le 19/12/2021 à 19:59, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 19/12/2021 à 19:15, Julien Arlandis a écrit :
 

Oui si on suit la recette de Sam ça fait
(exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))
 Et ensuite... ?

 Ensuite i = exp(i*(pi/2 + 2k.pi)), donc
ln(i) = (1/2 + 2k)*i*pi [1]
et z = i^i
      = exp(-(1/2 + 2k)pi)
      = exp(-pi/2) / exp(2k.pi)
 z a plusieurs valeurs en fonction de k. Chacune d'elle vérifie
ln(z) = i ln(i)
à cause de [1].
 Pour k=0 (branche principale du log), on obtient le classique
exp(-pi/2) = 0.202...
 Mais pour k=1 on obtient 3.88e-4 (tiens plus petit), et quand on prend k de plus en plus positif on tends vers 0.
 A l'inverse si k est de plus en plus négatif on tends vers +oo.
 Toutes ces valeurs sont des réponses possibles possibles à i^i puis que leur log vaut l'une des valeurs de i*ln(i).
 Toute la difficulté vient fait que ln(z) est un truc mal fichu. On a bien exp(ln(z)) = z, mais pas ln(exp(z)) = z dans les complexes. Il faut faire gaffe avec lui. Je ne sais pas s'il a un usage pratique chez les physiciens/chimistes ce log de nombre complexes. Peut-être du coté des machins quantiques, et encore.. enfin faudrait voir.
 sam.

Si on suit ce développement, qu'est ce qui nous empêcherait dans ce cas d'écrire que :
1^x = (exp(2*i*k*pi))^x       [1]
    = exp(x*ln(exp(2*i*k*pi)) [2]
    = exp(x*2*i*k*pi)         [3]
Ou encore :
ln(1) = ln(exp(2*i*k*pi))     [4]
      = 2*i*k*pi              [5]
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=7G40eY8VcsyKubVN7Zeuv5R3At0@jntp>