Re: Puissance complexe

Le 21/12/2021 à 15:21, Julien Arlandis a écrit :

((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
D'où le résultat assez fou que
(-1)^2 ≠ 1

Si tu interprètes les complexes de modules 1 sous la forme de rotations d'un certain angle, ceci s'explique assez bien:
* x² double l'angle de "x"
* x^(1/2) divise par deux l'angle de "x",
Comme -1 est une rotation de 180°, (-1)² est une rotation de 360°[*], et ((-1)²)^(1/2) est une rotation de 360°/2 = 180° = -1
On remarque que ici qu'on considère que 360° est différent de 0°.. on garde une certaine continuité (--> une histoire locale ?) des opérations.

si 1 peut être représenté par exp(4i*pi) ce n'est pas le cas de (-1)^2 qui ne peut être représenté que par exp(2i*pi), exp(6i*pi), exp(10i*pi)... mais pas exp(4i*pi) !!

C'est un truc de dingue qui n'est pas sans rappeler le truc de Dirac.
https://en.wikipedia.org/wiki/Plate_trick
En fait, dans la nature, les rotations de 360° ne sont pas forcément nilpotentes... Si vous ne me croyez pas, faites donc le tour d'un électron:
https://www.youtube.com/watch?v=pKKy2mmsziI
On peut aussi jouer des coudes pour s'en rendre compte:
https://www.youtube.com/watch?v=rC0jAICfNwc
sam (et oui en topologie 3D, un tour complet c'est 720°)