Re: Puissance complexe

Le 21/12/2021 à 16:46, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 21/12/2021 à 15:21, Julien Arlandis a écrit :
 

((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
D'où le résultat assez fou que
(-1)^2 ≠ 1

 Si tu interprètes les complexes de modules 1 sous la forme de rotations d'un certain angle, ceci s'explique assez bien:
 * x² double l'angle de "x"
* x^(1/2) divise par deux l'angle de "x",
 Comme -1 est une rotation de 180°, (-1)² est une rotation de 360°[*], et ((-1)²)^(1/2) est une rotation de 360°/2 = 180° = -1
 On remarque que ici qu'on considère que 360° est différent de 0°.. on garde une certaine continuité (--> une histoire locale ?) des opérations.
 

Ça reste à vérifier, mais il me semble que dans la formule (a^b)^c (avec a, b et c réels), b et c commutent et ce même si a est négatif.
On a bien ((-1)^2)^(1/2) = ((-1)^(1/2))^2 = -1
Au final, on vient de démontrer que ((-1)^2)^(1/2) = -1 alors qu'à l'école on nous enseigne que ça vaut 1, voir {-1, +1} en empruntant les complexes.