Re: Puissance complexe

Le 26/12/2021 à 18:14, MAIxxxx a écrit :

Le 20/12/2021 à 23:01, Julien Arlandis a écrit :

Le 20/12/2021 à 21:36, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 20/12/2021 à 21:07, Julien Arlandis a écrit :

>
J'ai pas vraiment compris ni creusé les raisons profondes pour
lesquelles le logarithme était multivalué.

>
Ben c'est tout con: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y =
exp(x).
>

Est ce une convention

>
non
>

ou y a t-il une raison plus profonde ?

>
heu, oui.. mais c'est tout con: l'argument d'un complexe n'est défini
qu'à 2pi-près.
>
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
>
En outre la fonction ln() n'est pas continue sur l'ensemble du plan
complexe. En fait je crois qu'elle n'est pas méromorphe.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe
>
La présence des 2pi.i apparait quand tu fais des intégrales suivant une
courbe sur le plan complexe. Les pôles d'ordre 1 (les trucs en 1/x sous
l'intégrale) apportent 2pi.i à chaque tour dans le sens (anti?)horaire
de l'intégrale autour de ce pole il me semble. C'est un grand classique
du filtrage continu cette histoire là si j'ai bonne mémoire.
>

Et pourquoi la fonction racine carrée n'est elle pas multivaluée

>
Ben si elle l'est: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y=x²
dans R: +/- sqrt(x).
>
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multivalu%C3%A9e#La_racine_carr%C3%A9e
;)
>
Tiens d'ailleurs est-ce que i c'est sqrt(-1) ou -sqrt(-1) ? ;)
>
sam.

>
sqrt(-1) = exp(i*(k+1/2)*pi) = {i, -i}               [1]
-sqrt(-1) = -exp(i*(k+1/2)*pi) = {-i, i}             [2]
>
Et donc doit on en conclure que sqrt(-1) = -sqrt(-1) ?

 Je me suis posé un jour la question de la définition de de i et de -i .
Conceptuellement, sans la représentation graphique dans le plan complexe, on ne
peut pas distinguer i et -i ce sont "deux racines carrées de -1" . Cela peut
avoir des conséquences pour ceux qui utilisent les variables complexes en
physique théorique quand "i.ct" est la coordonnée de temps, d'où les problèmes
posés par la "flèche du temps". Mais cela peut mener trop loin pour moi.

i est la classe d'équivalence de X dans R[X]/(X^2+1), -i est celle de
-X. On les distingue fort bien.