Re: Dans un demi-cercle

Le 16/01/2022 à 19:05, HB a écrit :

Pb : B et C sont sur un demi cercle de centre O,
      de rayon R et de diamètre [AD].
      (A, B , C et D dans cet ordre)
        Notons a, b et c les trois cordes [AB], [BC] et [CD].
       On cherche les cas où a, b, c et R sont entiers.

Une première exploration, avec maxima. J'ai appelé les 4 points M,N,P,Q
avec les coordonnées comme dans le programme. Les variables a,b,c,r sont les mêmes. Je cherche à éliminer x,y,z,t, les coordonnées de P et Q. J'ai trouvé une relation comprenant uniquement a,b,c,r, qui curieusement se factorise en deux relations homogènes de degré 3. J'ai ensuite testé les relations sur les solutions de l'énoncé.
Voici le programme:
M:[-r,0]$ N:[r,0]$ P:[x,y]$ Q:[z,t]$
e1:x^2+y^2-r^2$ e2:z^2+t^2-r^2$
f1:(x+r)^2+y^2-a^2$ f2:(z-r)^2+t^2-c^2$ f3:(z-x)^2+(t-y)^2-b^2$
load(grobner)$
poly_monomial_order:lex$
gb:poly_reduced_grobner([e1,e2,f1,f2,f3],[x,y,z,t,a,b,c])$
map(listofvars,gb);
display2d:false$
rel:factor(gb[7]);
[rel1,rel2]:args(%)$
subst([r=16,a=8,b=17,c=22],rel1);
subst([r=16,a=8,b=17,c=22],rel2);
subst([r=8,a=2,b=9,c=12],rel1);
subst([r=8,a=2,b=9,c=12],rel2);
et voici le résultat:
(%i13) map(listofvars,gb);
(%o13) [[a, r, x], [c, r, z], [a, c, r, b, t, y], [c, r, t],
          [a, c, t, r, b, y], [a, b, t, r, c, y], [a, b, c, r], [a, b, c, r, y]]
(%i14) display2d:false$
(%i15) rel:factor(gb[7]);
(%o15) (4*r^3-c^2*r-b^2*r-a^2*r-a*b*c)*(4*r^3-c^2*r-b^2*r-a^2*r+a*b*c)
(%i16) [rel1,rel2]:args(%)$
(%i17) subst([r=16,a=8,b=17,c=22],rel1);
(%o17) 0
(%i18) subst([r=16,a=8,b=17,c=22],rel2);
(%o18) 5984
(%i19) subst([r=8,a=2,b=9,c=12],rel1);
(%o19) 0
(%i20) subst([r=8,a=2,b=9,c=12],rel2);
(%o20) 432
Au vu de cela je propose que a,b,c,r doivent vérifier la relation cubique homogène.
4 r^3 - (a^2+b^2+c^2) r - abc  = 0
et donc que le problème se ramène à chercher des solutions entières de ceci. En divisant par r^3 je pense qu'il revient au même de chercher des solutions rationnelles de a^2+b^2+c^2+abc-4=0 Si on fixe a et b rationnels, c est donné par une équation du second degré dont la solution est en général irrationnelle, sauf si le discriminant est un carré parfait, d'où relation entre a et b, etc.
--
Michel Talon