Re: Puissance complexe

Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :

Peut on écrire :
1^x = (e^(2*i*pi))^x
= e^(2*i*pi*x)
= cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
Pour x réel ?
Je suppose que non car 1^x est supposé réel quand x est réel...

On parlait parfois de "racines de l'unité" c'est à dire puissance
fractionnaires, qui toutes sont représentées sur le cercle trigonométrique. Bien
évidemment une puissance algébrique ou transcendante (réelle) va avoir des
propriétés similaires.
Noter donc que toutes les puissances réelles de l'unité ont comme module "1" et
inversement

En calcul formel :
1= exp(2*k*i*<pi>)  k entier relatif

avec z= a+i*b a et b réels
 1^z = exp[2*i*k*<pi>*(a+i*b)]
= exp[2*i*k*<pi>*a -2*k*<pi>*b)
={exp(-2*k*<pi>*b) } *[cos(2*k*pi*a)+i*sin(2*k*pi*a)]
c'est une expression multivaluée dénombrable.

Si a et b sont rationnels on peut à peu près intuiter où se trouvent ces valeurs
dans le plan complexe, sur des cercles de rayons exp(-2*k*<pi>*b) répartis sur
des directions en nombre fini, cercles de rayons en progression géométrique.

Par contre pour des valeurs de a et b algébriques ou transcendantes on aura
aussi un ensemble de valeurs infini sur des cercles mais dense en ce qui
concerne la direction.
"Formellement" le k entier relatif de la partie réelle et celui de la partie
imaginaire sont identiques (est-ce vrai???) Validité de ce qui est écrit plus
haut ??? On est dans C.

"Trois p'its tours et puis s'en vont"

--
Vous pouvez dire n'importe quoi, et moi aussi d'ailleurs, mais je m'en f..s
complètement.