Re: Résolution équation avec des puissances

Salut !

Le 26/10/2022 20:10, Samuel DEVULDER a écrit :

Vu que le test d'entrée a Oxford a eu un certain succès, sauriez vous
trouver tous les x,y réels tels que:
 
16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?

Déjà, chacun des deux termes de gauche est strictement positif.
Pour que leur somme vale 1, il faut que chacun soit strictement plus
petit que 1, donc que (x²+y) et (y²+x) soient tous les deux négatifs.

On a alors :
 0 < x² < -y
 0 < y² < -x

Pour ne pas m'embêter avec des nombres négatifs, je vais poser u=-x
et v = -y. L'équation devient : 16^(u²-v) + 16^(v²-u) = 1.

Sans perte de généralité, je vais supposer 0 < u ≤ v : à la fin, si
on trouve une solution (x=-u, y=-v), on saura qu'il y a aussi la
solution (x=-v, y=-u).

Alors on a 0 < v² < u ≤ v, donc v² < v, ce qui n'est possible que si
v < 1, et donc aussi u < 1.

+--------------------+
| 0 < v² < u ≤ v < 1 |
+--------------------+


Pour commencer, je vais chercher s'il existe des solutions avec u = v.
Dans ce cas, l'équation se simplifie :
 16^(u²-u) + 16^(u²-u) = 1
 16^(u²-u) = 1/2 = 16^(-1/4)
 u²-u = -1/4
 4u² - 4u + 1 = 0
 (2u-1)² = 0
 u = 1/2
 x = y = -1/2

On vérifie :
 16^(x²+y) + 16^(y²+x)
 = 16^(1/4 - 1/2) + 16^(1/4 - 1/2)
 = 16^(-1/4) × 2
 = (1/2) × 2
 = 1

Il reste à savoir s'il peut exister des solutions où x est différent de y.
J'aurais tendance à penser que non, du fait que l'équation 4u² - 4u + 1 = 0
admet une racine double. Mais c'est juste une intuition, pas une preuve.

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Olivier Miakinen