Re: 0!=1 ?

Le 15/03/2023 à 04:25, Dominique a écrit :

Bonjour,
 Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0... Et puisque nous en sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ? J'ai la sensation que zéro puissance zéro est comme 0!...
 Il me faut confesser mon âge (65 ans) et mon BEPC pour seul diplôme scolaire...
 Ma question vient d'une petite énigme Python, notamment trouver deux nombres dont la somme de la factorielle de tous ses chiffres était égal à ces nombres.
 Ça marche avec 145=1+4*3*2+5*4*3*2
 Ça marche aussi avec 40585, sauf que je n'ai pas réussi à le trouver. En effet, 4*3*2+5*4*3*2*2+8*7*6*5*4*3*2=40584. Mais c'est normal, j'avais omis ce 0!=1, convention que je ne connaissais pas... Donc, j'ai échoué à cette énigme (je m'en remettrai). Mais ma question reste pleine et entière : pourquoi 0!=0^0=1 ?
 

Parce que n! a une extension à une fonction sur tout le plan complexe, pour laquelle il est évident qu'il faut prendre 0!=1. Voir
  https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma
Avec par exemple:
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur R + ∗  par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :
    - Γ ( 1 ) = 1
    - Pour tout x > 0 x>0\,, on a : Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x )
    - la fonction composée ln ∘ Γ  est convexe sur R + ∗
et comme n!=Γ(n+1) on a bien 0!=1.
En ce qui concerne 0^0 c'est plus une question de convention, mais en général a^b est défini comme exp(b*log(a)) si a et b tendent vers 0 "à
la même vitesse" alors b tend vers 0 "plus vite" que log(a) donc
b*log(a) tend vers 0 et exp(b*log(a)) tend vers 1. Il est donc naturel
de prolonger a^b de cette manière, là où il est mal défini.
--
Michel Talon