Re: 0!=1 ?

Le 15/03/2023 07:42, Michel Talon a écrit :

 
Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0... Et puisque nous en
sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ? J'ai la sensation que zéro puissance
zéro est comme 0!...
 
[...]

 
Parce que n! a une extension à une fonction sur tout le plan complexe,
pour laquelle il est évident qu'il faut prendre 0!=1. Voir
  https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma
Avec par exemple:
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur R + ∗  par les trois
propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :
 
    - Γ ( 1 ) = 1
    - Pour tout x > 0 x>0\,, on a : Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x )
    - la fonction composée ln ∘ Γ  est convexe sur R + ∗
 
et comme n!=Γ(n+1) on a bien 0!=1.

:-D

Cette réponse est vraie aussi, mais elle est un peu moins pédagogiqu
que celle donnée par Mickaël Launay. ;-)

En ce qui concerne 0^0 c'est plus une question de convention, mais en
général a^b est défini comme exp(b*log(a)) si a et b tendent vers 0 "à
la même vitesse" alors b tend vers 0 "plus vite" que log(a) donc
b*log(a) tend vers 0 et exp(b*log(a)) tend vers 1. Il est donc naturel
de prolonger a^b de cette manière, là où il est mal défini.

Là en revanche je préfère ta réponse à celle que j'ai donnée, elle me
semble plus claire que la mienne.


--
Olivier Miakinen