Re: 0!=1 ?

Le 15/03/2023 à 04:25, Dominique a écrit :

Bonjour,
 Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0... Et puisque nous en sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ? J'ai la sensation que zéro puissance zéro est comme 0!...
 Il me faut confesser mon âge (65 ans) et mon BEPC pour seul diplôme scolaire...
 Ma question vient d'une petite énigme Python, notamment trouver deux nombres dont la somme de la factorielle de tous ses chiffres était égal à ces nombres.
 Ça marche avec 145=1+4*3*2+5*4*3*2
 Ça marche aussi avec 40585, sauf que je n'ai pas réussi à le trouver. En effet, 4*3*2+5*4*3*2*2+8*7*6*5*4*3*2=40584. Mais c'est normal, j'avais omis ce 0!=1, convention que je ne connaissais pas... Donc, j'ai échoué à cette énigme (je m'en remettrai). Mais ma question reste pleine et entière : pourquoi 0!=0^0=1 ?

Il y a des justification d'ordre analytique comme d'autres réponses
l'ont indiqué. Il y en a aussi d'ordre combinatoire.
n! est le nombre de permutation d'un ensemble de cardinal n.
par exemple 2!=2 ; il y a effectivement deux fonctions bijective
de {a,b} vers {a,b} à savoir { (a,a), (b,b) } (l'identité) et
{ (a,b), (b,a) }
O! vu comme le nombre de permutation de l'ensemble vide, il
n'y a qu'une : la fonction de {} -> {} qui est {}, donc
0!=1
a^b est le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal
b vers un ensemble de cardinal a, on arrive à la même conclusion
que 0^0 = 1 de façon similaire.