Re: Biaiser les probabilités

Le 29/01/2024 à 17:57, Olivier Miakinen a écrit :

Le 28/01/2024 22:01, Julien Arlandis m'a répondu :

 Alors de deux choses l'une.
 Si sur une grille de 50 cases les grilles « équilibrées » (avec à peu près
autant de cases gagnantes que perdantes) sont privilégiées par rapport aux
autres, c'est-à-dire s'il y a un biais sur la globalité d'une grille et que
donc la probabilité n'est pas strictement 50 % pour chaque case indépendamment
des autres cases, alors oui, peut-être qu'il y a un moyen de tricher. Dans ce
cas, en réalité, il suffit de cocher 49 cases avant de parier sur la 50e.

 Qu'entends tu par à peu près,

 Je veux dire si lors de la création des grilles certaines d'entre elles
étaient écartées parce que semblant trop « déséquilibrées ». Par exemple
si on conservait toutes les grilles, sauf celles avec 50 valeurs identiques.
 Dans ce cas, bien que chaque case prise individuellement ait toujours
exactement 50 % de chance d'être gagnante ou perdante, il y aurait un biais
sur l'ensemble des cases d'une grille dont un joueur pourrait profiter.
 

soit les grilles sont totalement équilibrées (25 cases gagnantes et 25 cases perdantes) et ce n'est pas ce que dit l'énoncé,

 En effet. Et ce n'est pas non plus ce biais maximal que j'envisageais,
voir mon exemple juste au dessus.
 

soit elles le sont à peu près en moyenne et c'est forcément le cas étant donné que chaque case a autant de probabilité d'être gagnante que perdante.

 Tu confirmes donc que la probabilité pour une case n'est *strictement*
pas dépendante des 49 autres cases, n'est-ce pas ?
 Ça veut dire qu'une grille avec 49 cases perdantes puis une 50e case
également perdante a exactement la même probabilité qu'une grille avec
49 cases perdantes puis une 50e case gagnante.

Oui et on va appeler cela une grille aléatoire, par opposition à la grille équilibrée qui contient exactement autant de cases gagnantes que de cases perdantes, ce qui suppose qu'elle est constituée d'un nombre pair de cases.
Je viens de faire un script pour tester ma méthode sur les deux types de grille, voici les résultats pour N = 50. Je rappelle la méthode, je découvre aléatoirement autant de cases que nécessaire jusqu'à ce que le nombre de cases découvertes perdantes soit supérieur au nombre de cases découvertes gagnante OU que le nombre de cases découvertes atteigne N-1. Après quoi le gain ou la perte est indiqué par la prochaine case découverte.
Voici les résultats :
-Quand la grille est aléatoire, la méthode donne une probabilité de gain de 1/2 (test poussé sur 10 millions de tirages).
-Quand la grille est équilibrée, le gain monte à 53%.
J'ai par ailleurs mis le doigt sur une curiosité (qui est peut être dû à la manière dont le tableau est mélangé pour constituer une grille équilibrée), lorsque N ≤ 12 la probabilité de gain passe en dessous de 1/2 dans le cas des grilles équilibrées. Saurais tu vérifier ce dernier point ?

Mais si la probabilité sur chaque case est strictement 50 % indépendamment
des valeurs des autres cases de la grille, alors c'est efji qui a raison et
tu es en train de te faire avoir par le paradoxe du joueur :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_du_parieur>

 Je connais le paradoxe du joueur qui consiste à évaluer la probabilité d'un évènement futur donc qui n'a pas encore été tiré, au regard des évènements passés.

 Ok.
 

La situation que je propose est différente, tu aurais totalement raison d'évoquer ce paradoxe si le résultat révélé par chaque grattage n'était pas encore déterminé avant le grattage, or le joueur qui gratte une case n'effectue pas un tirage, il ne fait que le révéler.

 Eh bien non, du point de vue du joueur, la situation est exactement la
même puisqu'il ne peut pas savoir avant de gratter une case si celle-ci
est gagnante ou perdante. Si tu veux penser en terme de temporalité,
alors le passé et le futur correspondent au moment où le joueur gratte
telle ou telle case.
 Encore une fois, considère le cas des deux grilles parfaitement équi-
probables, l'une avec 50 P et l'autre avec 49 P et un G. Lorsque le
joueur aura gratté 49 P, il y a toujours une chance sur deux pour que
la dernière case soit aussi un P.

Je vois bien ce que tu dis, mais quelque chose continue de me gêner, voir plus bas...

On pourrait penser que comme la probabilité est de 1/2 dans les deux cas de figure, les deux situations ne font aucune différence.
Pour fixer les esprits sur ce point précis, imaginons que pour aider le joueur dans son choix, l'organisateur du jeu (qui connait la position des cases gagnantes) gratte au préalable 10 cases perdantes, on se retrouve dans cette situation avec 40 cases restantes.

 Ah, mais là c'est comme dans le jeu de Monty Hall. Déjà, ta situation
est impossible dans certains cas (ceux où il y a moins de 10 cases
perdantes), mais surtout le biais est introduit par l'organisateur qui
sait comment ne gratter que des cases perdantes.
 

Dans cette situation qui rappelle le problème de Monty Hall

 Ah oui, j'aurais dû lire la phrase suivante avant de répondre. ;-)
 

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall> on s'attend à ce que la probabilité de gain augmente en proportion du nombre de cases perdantes révélées, et dans ce cas il parait assez évident que le joueur a plus de chances que la prochaine case qu'il révèlera en la grattant soit un gain plutôt qu'une perte, et ceci même si la case concernée est le résultat d'un tirage équiprobable entre les deux éventualités. La probabilité de tirage d'une éventualité n'est donc pas la même que la probabilité de la révéler.

 Exactement. Mais ce n'est *pas* le même problème. Si au lieu de choisir 10
cases perdantes l'organisateur tirait 10 cases au hasard, là ce serait la
même situation et le joueur ne serait pas plus avancé pour autant.
 

Si tu es d'accord jusque là, quelle différence cela ferait il si les 10 cases perdantes sont grattées par l'organisateur, ou si elles le sont par le joueur avec une chance sur 1024 que cela se produise ?

 Tu l'as dit toi-même : l'organisateur *sait* quelles cases gratter pour ne
pas découvrir une case gagnante.
 En outre, dans le problème initial de Monty Hall, on savait déjà qu'il
existait deux portes perdantes et que donc l'organisateur pouvait toujours
en choisir une. Ce n'est pas le cas avec tes grilles, où il se pourrait
très bien (une chance sur 2^50) que toutes les cases soient gagnantes.
 Tout comme il se pourrait (même probabilité) que toutes soient perdantes.

Dans mon énoncé, qu'est ce qui nous empêcherait de faire intervenir un organisateur qui connait le résultat des grilles et dont le rôle serait de gratter X cases gagnantes et X+1 cases perdantes. On aboutirait dans ce cas à la même situation que si le joueur avait gratté lui même en aveugle les cases de la grille. Il faut considérer en outre qu'il y a au moins une case gagnante dans la grille pour amorcer la partie.