Re: Exercice pour les jeunes

Le 10/06/2024 à 17:33, kurtz le pirate a écrit :

On 10/06/2024 12:16, efji wrote:

C'est la plus mauvaise méthode pour inverser un système linéaire en
terme d'efficacité. Pour un système 2x2 ça passe, 3x3 éventuellement,
mais au delà c'est impraticable car le calcul des déterminants est très
long.

 Ben au "collège", je ne pense pas qu'ils dépassent (dépassaient) le 2x2
non ? Et dans ce cas, Cramer n'est pas si mauvais que ça.

Oui bien sûr. Toutes les méthodes se valent pour 2x2

  

En terme de complexité algorithmique, calculer un déterminant nxn à un
coût en n!, soit grosso modo n^n. La méthode de Gauss pour résoudre un
système linéaire a un coût en n^3.

 D'accord avec toi. Moi, ça ne me gène pas Gauss, mais ce n'est sûrement
pas du niveau collège.

Pour un système 2x2 ça revient juste à éliminer une variable dans une des équations, et à remplacer dans l'autre.

 Le coût en n! n'engage que toi...

C'est le coût nominal si on veut utiliser la formule qui définit le déterminant comme une forme n-linéaire alternée. Après, si on est dans un cas où on peut à moindre coût diagonaliser ou triangulariser la matrice (par exemple avec une méthode de type Gauss), on a directement le déterminant comme produit des coefficients diagonaux de la matrice triangulaire. Donc disons qu'on est capables de calculer un déterminant avec une complexité n^3. Dans la méthode de Cramer pour un système nxn interviennent les calculs de n+1 déterminant (celui de la matrice et n déterminants dans lesquels on a remplacé une colonne par le second membre du système). Le coût est donc (n+1)*n^3 = n^4.
--
F.J.