Solutions fantômes (was: Interprétation des résultats)

Salut,

je voudrais apporter un complément à la question de kurtz.

Le 22/06/2024 12:07, kurtz le pirate a écrit :

 
Mais alors, pourquoi la résolution de l'équation donne "-1" comme
solution ? Que représente ce "-1" ?

J'ai déjà montré comment élever au carré les deux termes d'une égalité
pouvait faire apparaître une solution fantôme du fait qu'une implication
n'est pas une équivalence.

Mais j'ai un autre exemple d'apparition possible de solution fantôme.
C'est lorsque l'on multiplie par un facteur donné une quantité qui doit
être nulle, si ce facteur a lui-même la possibilité d'être nul. Je
m'explique avec un exemple.

Par exemple, cherchons à résoudre l'équation suivante (dans R ou dans C) :
 x² + x + 1 = 0

Pour simplifier, on peut multiplier l'expression par (x − 1), parce que
si une expression est nulle alors la multiplier par n'importe quoi donne
toujours un résultat nul :

 (x − 1)(x² + x + 1) = 0

Quand on développe, ça se simplifie effectivement :

 x³ − 1 = 0

On a donc l'équation x³ = 1, qui a une seule solution dans R (x = 1) et
trois solutions dans C (les trois racines cubiques de l'unité). Le problème
est que la solution x = 1 est là encore une solution fantôme, apparue
uniquement parce qu'à un moment donné on a muliplié par (x − 1).

Je hope que cela helpe.

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Olivier Miakinen