Re: taux d'intérêt

Le 09/07/2024 à 19:31, Olivier Miakinen a écrit :

Bonjour,
 Le 09/07/2024 13:00, siger a écrit :

Bonjour,
>
ce n'est pas du droit...

 En effet. Ce serait plutôt des maths, auquel cas le bon groupe me semble
être fr.sci.maths. J'y fais suivre la discussion.
 

La valeur d'un bien = A
Je sais combien ça va coûter en tout = B
Je sais combien le remboursement va durer = C
>
Mais je ne sais pas comment trouver le taux d'intérêt. J'ai ouvert une
vingtaine de sites web qui parlent de ces choses, sans trouver la
réponse.

 Voici déjà un bon point de départ, mais ça ne répond pas exactement à ta
question : <https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante>.
 

Quelle est la formule ?

 Pour qu'on parle de la même chose, je vais reprendre les notations de la
page de Wikipédia.
 Ce que tu appelais A, c'est la valeur du capital emprunté. Notons-la E.
Ce que tu appelais C, c'est le nombre de périodes pour le remboursement : n
Ce que tu appelais B, c'est égal à la valeur de l'annuité constante (qui est
notée A sur la page de Wikipédia) multipliée par le nombre d'annuités n.
 Donc, pour reprendre tes termes :
| La valeur d'un bien = E
| Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
| Je sais combien le remboursement va durer = n
 Tu cherches le taux d'intéret i, sachant que l'on a la formule :
     A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
 On peut la simplifier un peu comme ceci :
    (1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
  Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.
Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes habitudes :) Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance (vous n'êtes pas Hachel). Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
Donc il faut résoudre
1-(1+x)^(-n) = Cx
Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)
Pour tout a réel on a le développement limité suivant à l'ordre 3 en x:
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)
où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
Donc ici, pour a=-n, on obtient
1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx
soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore
(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0
qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je vous laisse le faire.
Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
(n-C) - n(n+1)x = 0
ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).
--
F.J.