Re: taux d'intérêt

Le 09/07/2024 20:30, efji m'a répondu :

[...]

 
Donc, pour reprendre tes termes :
| La valeur d'un bien = E
| Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
| Je sais combien le remboursement va durer = n
 
Tu cherches le taux d'intéret i, sachant que l'on a la formule :
     A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
 
On peut la simplifier un peu comme ceci :
    (1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
 
 
Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

 
Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.

Je m'en doutais.

Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
habitudes :)

:-D

Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
(vous n'êtes pas Hachel).

La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai
lue sans y trouver d'erreur.
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante#D%C3%A9monstration_de_la_formule>

Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
 
Donc il faut résoudre
 
1-(1+x)^(-n) = Cx
 
Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)

Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 % à
ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000.

Pour tout a réel on a le développement limité suivant à l'ordre 3 en x:
 
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)

Ne manque-t-il pas des 1/k! ?
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir.

 
où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
 
Donc ici, pour a=-n, on obtient
 
1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx
soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore
 
(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0
 
qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
vous laisse le faire.
 
Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
 
(n-C) - n(n+1)x = 0
 
ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).
 

--
Olivier Miakinen