Re: taux d'intérêt

Le 13/07/2024 à 15:47, Michel Talon a écrit :

Le 11/07/2024 à 20:18, efji a écrit :
 

>
Premier ordre :
>
x = 2(n-C)/(n(n+1)) = 0.0945
>
Second ordre :
>
x = (n(n+1)/2 - \sqrt(n^2(n+1)^2/4-2n(n+1)(n+2)(n-C)/3))/(n(n+1)(n+2)/3)
   = 0.1174

  Tant qu'à faire des approximations, autant approximer la formule du second ordre. Pour x=0 on a n=c, donc le développement est en n-c, comme le montre la formule du premier ordre.
 (%i1) z:(n*(n+1)/2 - \sqrt(n^2*(n+1)^2/4-2*n*(n+1)*(n+2)*(n-c)/3))/(n*(n+1)*(n+2)/3)$
 (%i2) taylor(z,c,n,2);
(%o2) (-(2*(c-n))/(n^2+n))+((4*n+8)*(c-n)^2)/(3*n^4+6*n^3+3*n^2)
 et donc la correction du second ordre en  (n-c) est:
4(n+2)(n-c)^2/(3n^2(n+1)^2)
 Dans le cas numérique en question n=3, c=2.433  elle vaut 0.01488, soit grosso
modo 1.5% ce qui n'est pas du tout négligeable dans un taux.  Le taux passe de
0.0945  soit 9.5% à 10.9%  dans les deux cas des taux très élevés.  Et l'écart avec
11.7% n'est pas non plus négligeable. Donc il me semble qu'il faudrait aller au moins à l'ordre suivant pour avoir un calcul suffisamment fiable. Surtout pour
des n bien plus grands, comme 20, où la moindre variation de x a des effets
dramatiques.
 

Tant qu'à faire on peut aussi résoudre l'équation de départ avec une méthode itérative, par exemple Newton :
équation de départ :
f(x) = Cx + (1+x)^(-n) - 1 = 0
n = 3
C = E/A = n*29191/35990 = 2.43325
f'(x) = C - n(1+x)^(-n-1)
x_0 = 1.
x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k)
k  x_k
0  1.
1  0.30613254892135622
2  0.16802939006796785
3  0.12372492893788849
4  0.11325074414539538
5  0.11247343067246166
6  0.11246895794772889
7  0.11246895779928325
8  0.11246895779928325
La solution exacte est donc 11.247%
Attention de ne pas initialiser avec x_0=0 car 0 est solution aussi de l'équation de départ :)
--
F.J.