Re: Compatibilité entre une topologie et une structure d'espace vectoriel

Le 19/07/2024 à 08:03, ast a écrit :

Bonjour
 En lisant la page wikipédia "Espace de Banach" ici:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Banach
 je suis tombé sur cette affirmation:
 "Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique"
 Un espace de Banach est normé, donc on a une distance, donc on peut définir les ouverts, donc on a bien un espace topologique.
 Mais que signifie que cette topologie est compatible avec la structure d'espace vectoriel ?

La distance doit vérifier ces deux propriétés pour que ce soit un ev topologique :
* somme de 2 vecteurs =  application continue (pour la distance en question)
* produit d'un vecteur par un scalaire =  application continue.
Si la distance est induite par une norme c'est clairement le cas.
--
F.J.