Re: Courbe de Bezier cubique

On 28/07/2024 21:08, Olivier Miakinen wrote:

Le 28/07/2024 à 18:50, je répondais au pirate :

>
  B(t) = P0(1-t)^3 + 3P1t(1-t)^2+3P2t^2(1-t)+P3t^3
  avec t [0,1]
  <https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier>

>
Calculer /le/ t pour un x, c'est à priori impossible dans le cas
général. En effet, pour la plupart des x de R il n'y a aucun t qui
corresponde, alors que pour certains x il peut y avoir plusieurs t.
À priori je dirais qu'il peut exister jusqu'à trois valeurs de t
pour le même x dans le cas des courbes de Bézier cubiques, avec
donc trois y différents pour ce même x.

 
Pour prendre un exemple simple, soient :
 P3 = -P0 = (1,1)
 P1 = -P2 = (a,-1)
 
On a alors :
 x(t) = (6a+2)t³ - (9a+3)t² + (3a+3)t - 1
 y(t) = -4t³ + 6t² - 1
 
... que l'on peut factoriser :
 x(t) = (2t-1)((3a+1)t² - (3a+1)t + 1)
 y(t) = -(2t-1)(2t² - 2t - 1)
 
La courbe passe évidemment par le point (0,0) quand t = 1/2. Il reste
à savoir s'il y a d'autres valeurs de t pour lesquelles x = 0 (alors
que sur [0,1], y(t) ne s'annule qu'en t = 1/2). Tout dépend de la valeur
de a.
 
Étudions la fonction g(t) = ((3a+1)t² - (3a+1)t + 1). Le discriminant
delta vaut (3a+1)² - 4(3a+1) = 3(a-1)(3a+1)
 
Si a vaut 1, x(t) = (2t-1)(4t²-4t+1) = (2t-1)³, et t=1/2 est une racine
triple de x(t).
 
Si a est compris entre 0 et 1, g(t) ne s'annule jamais, et on peut
effectivement trouver un seul 't' correspondant à x = 0 (et même à
tout x entre -1 et +1).
 
Mais si a est plus grand que 1, alors il existe trois 't' différents et
trois 'y' différents pour x = 0.

Oui c'est tout à fait ça, et c'est ce que je veux éviter.

CQFD. Ta demande de départ était bien illusoire.

Pas tant que ça. J'ai trouvé une solution beaucoup plus simple.
Vu ma réponse précédente, une simple itération en partant de 0 me donne
ma valeur t pour mon x et donc ma valeur y...

CQFD ;)






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kurtz le pirate
compagnie de la banquise