Re: Courbe de Bezier cubique

Le 29/07/2024 à 22:46, Michel Talon a écrit :

Autre remarque. La courbe est une cubique "unicursale"  puisqu'elle a une représentation paramétrique rationnelle. Ce n'est absolument pas le cas général des cubiques qui n'ont en général qu'une paramétrisation elliptique.  Typiquement  cette dégénérescence se produit quand la cubique a un point double  - prenant une droite passant par le point double , et qui recoupe la cubique en un point, celui ci dépend rationnellement de la pente de la droite.

En fait la situation ici est extrêmement triviale.  L'équation de la courbe est, après un peu de simplification:
(3*a+1)^3*y^3+6*(3*a+1)^2*x*y^2+12*(3*a+1)*x^2*y-27*(a-1)*(a+1)^2*y+8*x^3
              -54*(a+1)^2*x
Il n'y a que des termes de degré 3 et de degré 1. Il saute aux yeux que les termes de degré 3 sont  (3*a+1)*y+2*x)^3 et les termes de degré 1 sont -27*(a+1)^2*((a-1)*y+2*x).
Donc l'équation de la courbe est en fait:
(3*a+1)*y+2*x)^3 - 27*(a + 1)^2*((a-1)*y + 2*x) = 0
Mais alors le simple changement de variables linéaire
X=(3*a+1)*y+2*x, Y=(a-1)*y+2*x
inversible si a différent de -1 met la courbe sous la forme X^3-27*Y*(a+1)^2=0
ce qui est la cubique la plus banale  Y = c X^3  trivialement unicursale (prendre X comme paramètre).  Pour revenir à la paramétrisation initiale en terme de t, il suffit de remarquer que
  subst([eq1,eq2],X=(3*a+1)*y+2*x);   -->  X = (6*a+6)*t-3*a-3
autrement dit X et t sont liés par une relation linéaire, autrement dit sont totalement équivalents (si a /= -1).  Voilà je pense que la relation entre la courbe et sa représentation paramétrique est complètement élucidée.
Finalement, concernant la courbe x=cos(u) y=sin(u) c'est à dire le cercle x^2+y^2=1, c'est tout autant une courbe unicursale, algébriquement équivalente à une droite, comme le montre la paramétrisation obtenue par t = tan(u/2)
x= (1-t^2)/(1+t^2)   y=2t/(1+t^2)
Le point à l'infini de la droite des t correspond à (-1,0) sur le cercle, les autres points du cercle correspondent bijectivement aux points à distance finie.
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Michel Talon