Re: Le marronnier 0,999... = 1

[Supersedes pour supprimer une étoile malvenue]

Maintenant que nous sommes uniquement sur fr.sci.maths et plus en
diapublication avec fr.lettres.langue.francaise, je vais préciser.

Le 18/08/2024 à 18:50, je répondais à Valcarus :

 
La partie entière de 0.9999... est 0. Celle de 1 est 1.

 
Non. La fonction partie entière n'étant pas continue, on ne peut pas
affirmer que la limite de la partie entière d'une suite est égale à
la partie entière de la limite de cette suite.
 
On a bien :
⌊0,9⌋ = 0
⌊0,99⌋ = 0
⌊0,999⌋ = 0
⌊0,9999⌋ = 0
... (etc. quel que soit le nombre de 9 tant que ce nombre est fini)
 
Mais :
⌊0,999...⌋ = ⌊1⌋ = 1

La suite à considérer est :
a_1 = 0,9 = 1 - 0,1
a_2 = 0,99 = 1 - 0,01
a_3 = 0,999 = 1 - 0,001
a_4 = 0,9999 = 1 - 0,0001
...
a_n = 1 - 10^(-n)

Sa limite à l'infini est :
L = lim(+infini){a_n}
  = lim(+infini){1 - 10^(-n)}
  = 1 - lim(+infini){10^(-n)}
  = 1 - 0
  = 1

On a bien, quel que soit n, ⌊ a_n ⌋ = 0.

Donc :
lim(+infini){⌊ a_n ⌋} = 0

Et pourtant :
⌊ lim(+infini){a_n} ⌋ = ⌊ 1 ⌋ = 1

[...] C'est bien parce que la fonction partie
entière n'est pas continue en 1 que ton argument est faux.

Voilà.

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Olivier Miakinen