Re: [Proba] graphe, matrice de transition, etcsdc

Le 08/09/2024 à 18:53, Olivier Miakinen a écrit :

Bonjour,
 Je cherche à savoir comment résoudre certains problèmes de probabilité
dans lesquels 2 joueurs ou plus jouent jusqu'à ce que l'un d'entre eux
gagne. C'est un jeu où on part d'un état initial E0 et qui a un nombre fini
d'états possibles. À chaque coup, on passe d'un état à un autre avec une
certaine probabilité fixe ; par exemple, à partir de E1 on pourrait rester
en E1 avec probabilité 1/2, aller en E5 avec probabilité 1/3, ou revenir
en E0 avec probabilité 1/6. Certains états sont des états finaux, par
exemple F1 qui fait gagner le joueur 1, F2 qui fait gagner le joueur 2
et F3 qui fait gagner le joueur 3.
 Je sais tracer le graphe des probabilités, et je sais aussi en faire une
matrice de transition. Mais ce que je ne sais pas, c'est :
− déterminer avec quelle probabilité ce sera le joueur n qui va gagner ;
− déterminer en combien de coups en moyenne il gagnera.
 J'ai cherché (rapidement) des cours sur la toile, mais je ne suis pas
encore arrivé à quelque chose de concluant. Quelqu'un pourrait me donner
des pistes ?
 Cordialement,

Ca relève de la théorie des marches aléatoires. Ce n'est pas simple et ça ne s'improvise pas. Je n'y connais rien, donc je ne peux pas aider.
ChatGPT propose ces ouvrages comme référence, mais je n'ai aucune idée de sa fiabilité pour proposer des références :
1. "Random Walks and Electric Networks" – Peter G. Doyle et J. Laurie Snell (1984)
     Description : Cet ouvrage classique relie la théorie des marches aléatoires à la théorie des réseaux électriques. Il offre une introduction intuitive aux marches aléatoires et présente des techniques comme l'utilisation de résistances électriques pour comprendre les propriétés des marches.
     Lien : Livre gratuit en ligne
2. "Random Walks on Graphs: A Survey" – László Lovász (1993)
     Description : Bien que cet ouvrage soit un article plutôt qu'un livre, il est un excellent point de départ pour les marches aléatoires sur des graphes. Il aborde de nombreux concepts liés aux processus stochastiques et aux applications informatiques des marches aléatoires.
     Lien : Disponible en ligne avec une recherche simple.
3. "Random Walks on Infinite Graphs and Groups" – Wolfgang Woess (2000)
     Description : Ce livre est une référence pour les marches aléatoires sur des graphes infinis et des groupes. Il est idéal pour une étude plus approfondie des marches aléatoires dans des contextes plus avancés, incluant les groupes de Lie et la géométrie hyperbolique.
     Public cible : Lecteurs ayant une certaine familiarité avec les graphes et les groupes en mathématiques.
4. "Probability and Random Processes" – Geoffrey Grimmett et David Stirzaker (2001)
     Description : Ce livre est un texte de référence pour les probabilités et les processus aléatoires. Il contient un chapitre dédié aux marches aléatoires et couvre des bases importantes, tout en proposant une introduction aux processus stochastiques.
     Public cible : Étudiants de niveau avancé en mathématiques ou ingénierie.
5. "Random Walks in Biology" – Howard C. Berg (1993)
     Description : Ce livre aborde la théorie des marches aléatoires dans le contexte de la biologie, en particulier la diffusion des molécules et le mouvement des organismes. Il est idéal pour les lecteurs intéressés par les applications biologiques.
     Public cible : Chercheurs ou étudiants en biologie et physique.
6. "Spitzer's Principles of Random Walk" – Frank Spitzer (1976)
     Description : Cet ouvrage est l'une des références classiques pour la théorie des marches aléatoires. Il aborde la théorie en profondeur, avec un focus sur les marches aléatoires en dimension infinie.
     Public cible : Mathématiciens et physiciens intéressés par les aspects théoriques avancés des marches aléatoires.
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F.J.