Re: Polynôme à coefficients entiers de degré minimal ayant une racine donnée

Bonjour,

Le 16/09/2024 13:58, ast a écrit :

 
Si je vous demande le polynôme à coefficients entiers de degré minimal
ayant comme racine r = (1 + sqrt(5))/2, alors:

Dans ce cas, c'est assez facile.

r = (1 + sqrt(5))/2
2r = 1 + sqrt(5)
2r − 1 = sqrt(5)
(2r − 1)² = 5
4r² − 4r + 1 = 5
4r² − 4r − 4 = 0
r² − r − 1 = 0

En fouinant sur la toile, j'ai trouvé l'exercice avec
r = (1+sqrt(3))^(1/5) + (1-sqrt(3))^(1/5)

Essayons.

r = (1+sqrt(3))^(1/5) + (1-sqrt(3))^(1/5)
r⁵ = ((1+sqrt(3))^(1/5) + (1-sqrt(3))^(1/5))⁵

Avant d'aller plus loin, je vais poser x = (1+sqrt(3))^(1/5) et
y = (1-sqrt(3))^(1/5). Bien sûr on a r = x + y.

Une chose intéressante est que :
 x⁵ + y⁵ = 1+sqrt(3) + 1-sqrt(3) = 2
 x⁵ × y⁵ = (1+sqrt(3)) × (1-sqrt(3)) = 1 − 3 = −2
 xy = (−2)^(1/5)

Je vais aussi poser A = xy = −2^(1/5) qui est une constante.

r⁵ = (x + y)⁵
   = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵
   = 2 + 5xy(x³ + y³) + 10(xy)²(x + y)
   = 2 + 5A(x + y)(x² − xy + y²) + 10A²(x + y)
   = 2 + 5Ar(x²+y² − A) + 10A²r
   = 2 + 5Ar((x+y)² − 2xy − A) + 10A²r
   = 2 + 5Ar(r² − 2A − A) + 10A²r
   = 2 + 5Ar(r² − 3A) + 10A²r
   = 2 + 5Ar³ − 15A²r + 10A²r
   = 2 + 5Ar³ − 5A²r

Si je ne me suis pas trompé, on a donc :

r⁵ − (5A)r³ + (5A²)r − 2 = 0

Bien sûr, outre le fait que j'ai pu me tromper, je ne peux pas assurer qu'il
s'agisse bien du polynôme de degré minimal. Ah, et puis il n'est pas non plus
à coefficients entiers à cause de A = −2^(1/5). Enfin je suppose que tu
cherchais une méthode générale. Mais ça, je ne sais pas le faire à priori.

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Olivier Miakinen