Re: Polynôme à coefficients entiers de degré minimal ayant une racine donnée

Le 16/09/2024 à 13:58, ast a écrit :

Bonjour
 Si je vous demande le polynôme à coefficients entiers de degré minimal ayant comme racine r = (1 + sqrt(5))/2, alors:
 - soit vous reconnaissez immédiatement le nombre d'or phi et vous me répondez du tac au tac x²-x-1,
 - soit vous vous dites que le polynôme recherché est surement de degré 2 et donc que r' = (1 - sqrt(5))/2 est certainement l'autre racine et donc que le polynome recherché est (x-r)(r-r')
 OK
 mais dans le cas général, avec une racine quelconque (algébrique quand même), tordue, est ce qu'il existe une méthode, un algorithme, pour trouver le polynôme minimal ?
 En fouinant sur la toile, j'ai trouvé l'exercice avec
r = (1+sqrt(3))^(1/5) + (1-sqrt(3))^(1/5)

"algébrique quand même", c'est bien là tout le problème!
Si c'est un nombre formé par une combinaison linéaire de racines avec des coefficients rationnels, on doit probablement toujours y arriver par de petits calculs simples. Si il n'y a qu'un seul type de racine et des rationnels comme dans les exemples ci-dessus on doit s'en sortir facilement et le degré minimal du polynôme sera l'ordre de cette racine: dans les exemples ci-dessus, le nombre d'or s'obtient comme racine d'un polynôme de degré 2 et r = (1+sqrt(3))^(1/5) + (1-sqrt(3))^(1/5) se retrouve avec un polynôme de degré 5.
Pour les autres nombres algébriques c'est bien plus compliqué. Une somme de nombres algébriques est algébrique, mais trouver un polynôme à coefficients rationnels pour lequel (2)^{1/2} + 3^{1/5} est racine ne me semble pas immédiat.
Ensuite tous les nombres algébriques ne s'expriment pas avec des radicaux, donc, bon courage...
Par exemple on ne sait pas si \pi+e est algébrique ou non. Si il l'était, aucune chance de pouvoir expliciter son polynôme minimal :)
Par exemple aussi, comme le corps des nombres algébriques est algébriquement clos, on sait que toutes les racines de polynômes à coefficients algébriques sont algébriques. Donc par exemple les racines de
x^7 + (1+\sqrt{2})x^9 + (7)^{1/5}x^4 + 1=0
sont algébriques. Va donc trouver un polynôme à coefficients entiers dont elles sont racines.
Problème très compliqué.
--
F.J.