Re: Polynôme à coefficients entiers de degré minimal ayant une racine donnée

Le 16/09/2024 à 13:58, ast a écrit :

 mais dans le cas général, avec une racine quelconque (algébrique quand même), tordue, est ce qu'il existe une méthode, un algorithme, pour trouver le polynôme minimal ?

Oui, il en existe une. Ton problème consiste à trouver  ce qui s'appelle un élément primitif, et son polynôme minimal pour une extension algébrique  d'une extension algébrique, dans le cas présent la première extension contient sqrt(3)  et la seconde contient des racines 5èmes sur celle-ci.
Le fait qu'il existe un élément primitif est le "théorème de Kronecker" qui était
déjà dans Galois. Voir Wikipedia sur le sujet. Les logiciels de calcul formel proposent le calcul d'un élément primitif. Celui que je connais, maxima, a ces fonctions qui sont documentées ici:
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/maxima_81.html
https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/maxima_81.html
L'idée est une construction par élimination. Par exemple pour une extension comprenant sqrt(2) et sqrt(3)  on espère que la somme des deux sera un élément primitif est on élimine x entre x^2-2=0 et (s-x)^2-3=0 ce qui donne
s^4-10*s^2+1=0 qui est irréductible, donc s =x+y est bien un élément primitif et on a son équation. Si ça ne marche pas on essaye avec x+2*y, etc. au bout d'un nombre fini d'étapes ça marche.  C'est grosso modo l'algorithme qui est implanté dans maxima. Dans le cas présent les deux radicaux sont solution de (x^5-1)^2=3 soit
x^10 - 2*x^5-2=0 et on veut trouver l'équation pour leur somme. Donc on élimine
comme ci-dessus
(%i2) eliminate([x^10-2*x^5-2,(s-x)^10-2*(s-x)^5-2],[x]);  /* s=x+y */
(%o2) [s^100-40*s^95-1800*s^90-66960*s^85-8512760*s^80-224450528*s^75
             -5110083040*s^70-205821159360*s^65-1690635060880*s^60
             +33409279926400*s^55+191334603450752*s^50-380300742270720*s^45
             -7279618351963520*s^40-23951916022026240*s^35
             -28661233599334400*s^30+13895742679484416*s^25
             -208497406170880*s^20-231393587589120*s^15-9299241451520*s^10
             +36128686080*s^5-33554432]
(%i3) factor(%[1]);
(%o3) (s^10-64*s^5-2048)*(s^20+22*s^15-250*s^10+44*s^5+4)^2
                         *(s^25-10*s^20+1290*s^15+7420*s^10+17580*s^5-32)^2
(%i4) args(%);     /* Pour isoler les facteurs */
(%o4) [s^10-64*s^5-2048,(s^20+22*s^15-250*s^10+44*s^5+4)^2,
        (s^25-10*s^20+1290*s^15+7420*s^10+17580*s^5-32)^2]
Cette fois l'équation n'est pas irréductible, donc on isole le bon facteur par un calcul numérique:
(%i6) (1+sqrt(3))^(1/5),numer;
(%o6) 1.222637618924407
(%i7) (sqrt(3)-1)^(1/5),numer;    /* On se méfie du signe négatif */
(%o7) 0.9395247923154705
(%i8) %o6-%o7;
(%o8) 0.2831128266089366     /* La valeur numérique de notre quantité */
(%i9) subst(s=%,%o4);
(%o9) [-2048.116403318155,16.63989410459637,1.748102640790991e-27]
Seul le troisième terme est petit.
Finalement la somme s est racine de l'équation:
s^25-10*s^20+1290*s^15+7420*s^10+17580*s^5-32 = 0
(%i10) subst(s=%o8, s^25-10*s^20+1290*s^15+7420*s^10+17580*s^5-32);
(%o10) -4.181031739643926e-14
Ce qui est suffisamment probant! On voit qu'on tombe rapidement sur des équations de degré élevé et compliquées.
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Michel Talon