Re: Polynôme à coefficients entiers de degré minimal ayant une racine donnée

Le 20/09/2024 à 13:32, ast a écrit :

je te remercie pour cette réponse détaillée mais malheureusement mon niveau est insuffisant pour que je puisse la comprendre

Pourtant c'est plus simple que ça en a l'air.
La notion d'extension. Si on part de Q, l'extension par √2 consiste à considérer les couples (a,b) de rationnels que l'on note a+b√2  avec la loi d'addition évidente et la loi de multiplication (a+b√2)(c+d√2)=(ac+2bd)+(ad+bc)√2.  Il se trouve que ça forme un corps justement parce que x^2-2 est irréductible sur Q.  C'est exactement la même construction que celle des complexes à partir des réels par adjonction d'une racine de x^2+1. Généralisation à un corps K auquel on adjoint une racine d'un polynôme p(x) irréductible sur K, appelons la α. Si p est de degré n, c'est l'ensemble des  a_0+a_1 α +...+a_{n-1} α^{n-1}, qui est donc un espace vectoriel de dimension n sur K. La loi de multiplication est obtenue de façon naturelle en
définissant α^i α^j = α^{i+j} que l'on réduit si i+j>=n en utilisant p(α)=0. Dans notre cas on commence par adjoindre √3 à Q dans lequel vit 1+√3 et 1-√3. C'est donc un corps K de dimension 2 sur Q. Ensuite on étend K en adjoignant deux racines 5°
de ces deux éléments. A priori adjoignant une racine donne une extension de dimension 5 sur K et donc 10 sur Q. Adjoignant la deuxième pourrait augmenter la dimension jusqu'au produit 10*10=100 sur Q , mais en fait les particularités de la situation font que la somme des deux racines 5° vit dans une extension de dimension 25 sur Q.
Ensuite il y a la question de l'élimination. Pour ça c'est le déterminant de Sylvester, il faut lire par exemple:
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant
A priori on obtient à la sortie un polynôme de degré le produit des degrés des polynômes de départ, d'où le 10*10=100 dont j'ai parlé.
L'algorithme le plus non trivial que j'ai utilisé dans le calcul c'est l'algorithme de factorisation des polynômes. C'est grâce aux travaux de Cantor Zassenhaus Berlekamp etc. qu'on peut taper "factor" dans un logiciel de calcul formel et
obtenir une factorisation en peu de temps.
En ce qui concerne l'interprétation du calcul de maxima, il faut comprendre que % est le résultat précédent et %o8 est le résultat noté %o8. Par exemple
(%i10) subst(s=%o8, s^25-10*s^20+1290*s^15+7420*s^10+17580*s^5-32);
dit substituer %o8 c'est à dire 0.2831128266089366 à s dans l'expression.
On trouve en %o10 un résultat de -4 10^{-14} c'est à dire pratiquement 0.
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Michel Talon