Re: Equations quadratiques

Le 15/10/2024 à 22:47, Olivier Miakinen a écrit :

Une autre méthode consiste à compléter le carré :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9tion_du_carr%C3%A9>.
 Ça revient au même que le calcul du discriminant, sauf que ça fait un peu
moins « formule magique ».

Pour être plus snob, il y a encore une "méthode" illustrant la théorie de Galois.
Dans l'échange des deux racines x1 et x2 il y a une quantité qui change de signe,
(x1-x2) et donc (x1-x2)^2 est invariant. Il s'exprime donc en fonction des coefficients du polynôme. Explicitement
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4 x1 x2 = (-b/a)^2 -4 c/a = (b^2-4ac)/a^2
On reconnaît le discriminant, etc.
La solution de l'équation de degré 3 suit un chemin similaire en considérant les
permutations de x1 x2 x3 , le sous-groupe des permutations circulaires qui transforme la "résolvante de Lagrange"  x1+ ω x2 + ω^2 x3  par multiplication par
ω et ω^2  (où ω^3=1,  mais ω n'est pas 1)  et donc le cube de la résolvante est in variant. Il y a une deuxième résolvante en transposant x1 et x2 et donc la somme
et le produit des deux cubes sont complètement invariants donc s'expriment sur
les coefficients de l'équation, d'où la solution, en résolvant d'abord une équation du second degré, puis en prenant les racines cubiques des solutions.
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Michel Talon