Re: Domaine de définition

Le 12/11/2024 à 00:17, Olivier Miakinen a écrit :

Salut Julien,
 Là je me demande si tu trolles ou si tu es sérieux.
 Le 11/11/2024 23:53, Julien Arlandis a écrit :

 1) Réponse sérieuse
 Une fonction peut être prolongée par continuité en un point si elle
est définie et continue dans un voisinage de ce point. Qui plus est,
si elle est définie et continue à la fois à gauche et à droite du
point, il faut que la limite à gauche soit égale à la limite à droite
pour en faire une fonction qui soit aussi continue en ce point.
 Une fonction qui n'est définie nulle part ne peut évidemment être
prolongée par continuité en aucun point.

 Pourtant la fonction la fonction f(x)=1/(1/a*x) peut être prolongée en a*x en 0 pour tout a ≠ 0,

 Oui. Lorsque a ≠ 0, la fonction f(x) = 1/(1/a*x) est définie pour tout
x ≠ 0, et la limite de f(x) en 0 à gauche et à droite vaut 0. On peut
donc prolonger cette fonction par continuité vers une fonction g(x)
de la façon suivante :
 g(x) = f(x) = 1/(1/a*x)  si x ≠ 0
 g(x) = 0                 si x = 0
Il se trouve que cette fonction g(x) peut s'écrire plus simplement :
 g(x) = a*x               quel que soit x
(mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué)
 

donc d'après ce prolongement f(0)=1/(1/a*0)

 [NON]
 Ce que tu écris ici n'a aucun sens, pour au moins deux raisons :
− f(0) n'est pas défini puisque le domaine de définition de f ne contient
  pas le point 0 ; c'est une éventuelle fonction g(x) qui peut être un
  prolongement en 0 de la fonction f(x) non définie en 0 ;
− l'écriture 1/(1/a*0) en elle-même n'a aucun sens.
 

=a*0=f(a)

 Ah, parce que maintenant f(a) = 0 ? D'après *ta* définition de f(x), qui
était f(x)=1/(1/a*x) pour a ≠ 0 et x ≠ 0, f(a) = a² > 0.

Ici a était le paramètre comme x dans f(x). L'argument c'est que si 1/(1/a*0) se prolonge en a*0 pour a ≠ 0, en remplaçant la constante a par le paramètre x on se retrouve avec f(x) = 1/(1/x*0) qui se prolonge en x*0 pour tout x ≠ 0.