Re: 143

Le 05/12/2024 à 20:43, Olivier Miakinen a écrit :

Le 05/12/2024 07:51, robby a écrit :

Le 04/12/2024 à 22:54, Olivier Miakinen a écrit :

Leur produit étant de la forme (6n+1)(6n−1) = 36n² − 1, ils sont congrus à
−1 modulo 2, modulo 3, modulo 4, modulo 6, modulo 9, modulo 12, modulo 18 et
modulo 36 !

>
uh, tu veux développer comment on en arrive a la contrainte de congruence ?
j'ai tj eu des problèmes à cette étape ! :-)

 Pas de problème. Je commence par définir ce que l'on appelle congruence, ce pour
répondre aussi à Dominique.
  Pour simplifier commençons par ne traiter que les entiers positifs. Deux entiers
positifs a et b sont congrus modulo N (un autre entier positif) si et seulement
si le reste de la division de a par N et le reste de la division de b par N sont
égaux.
 Par exemple, les nombres 307, 427, 30027 et 99997 sont tous congrus modulo 10
puisque le reste de leur division par 10 donne 7. Ils sont congrus *entre eux*
modulo 10, mais bien sûr ils sont aussi congrus à 7 modulo 10, puisque le reste
de la division de 7 par 10 est également 7.
 S'agissant des entiers négatifs, la notion de division entière ne marche plus
vraiment, et pourtant les nombres −3, −5003 et −9993 sont aussi congrus à 7
modulo 10. On peut alors utiliser une autre définition, qui fonctionne pour
tous les entiers positifs et négatifs. Deux entiers relatifs a et b sont congrus
modulo un entier positif N, si et seulement si N divise (a − b).
 Prenons quelques exemples.
  a = 427, b = 307 : a − b = 120 = 12 × 10
  a = −3, b = 307 : a − b = −310 = (−31) × 10
  a = −3, b = −5003 : a − b = 5000 = 500 × 10
  Maintenant je vais expliquer pourquoi les nombres de la forme 36n² − 1 sont
congrus à −1 modulo n'importe quel nombre N dans { 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }.
 Tous les nombres de cette liste sont des diviseurs de 36. Par exemple, si je
choisis N = 9, on a N × 4 = 36. Alors, pour montrer que 36n² − 1 est congru
à −1 modulo 9, prenons a = 36n² − 1, b = −1, et N = 9. Il vient :
  a − b = (36n² − 1) − (−1) = 36n² − 1 + 1 = 36n² = 4×9 n² = 4n² × 9 = (4n²) × N
On a bien : a − b est un multiple de N, donc a est congru à b modulo N.

Merci Olivier. Je connaissais le modulo (le reste de la division euclidienne), en revanche je découvre la congruence.
Si je comprends bien, tous les nombres dont le reste de la division euclidienne par N est le même sont congrus. 26 et 1552 sont congrus modulo 7. En revanche, 29 modulo 8 et 1552 modulo 7 ont le même modulo mais ne sont pas congrus. Est-ce que j'ai à peu près saisi le principe ?
Si oui, quel est l'intérêt mathématique de cette congruence ?
--
Dominique
Esto quod es