Re: 143

Le Mon, 9 Dec 2024 17:49:16 +0100, Dominique a écrit :

Si je comprends bien, tous les nombres dont le reste de la division
euclidienne par N est le même sont congrus.

Congrus modulo N, oui.

26 et 1552 sont congrus modulo 7.

Oui.

Et on peut même pousser le bouchon en construisant l'inverse de chaque
élément "modulo 7" (c'est possible parce que 7 est premier) :

1 x 1 = 1   (mod 7)
2 x 4 = 1   (mod 7)
3 x 5 = 1   (mod 7)
4 x 2 = 1   (mod 7)
5 x 3 = 1   (mod 7)
6 x 6 = 1   (mod 7)

On a des propriétés très rigolotes aussi (là encore parce que 7 est un
nombre premier) :

1 = 2⁶ = 3⁶ = 4⁶ = 5⁶ = 6⁶ (mod 7)

En revanche, 29 modulo 8 et 1552 modulo 7 ont le même modulo
mais ne sont pas congrus.

On parle de congruence modulo n *pour un certain n donné*.

Ça n'a pas de sens de parler de "congruence" entre deux entiers dans deux
"modulo" différents.

En revanche on peut s'intéresser pour un certain nombre donné à ses restes
par différents diviseurs :

"Soient des objets en nombre inconnu. Si on les range par 3 il en reste 2.
Si on les range par 5, il en reste 3 et si on les range par 7, il en reste
2. Combien a-t-on d'objets ?"

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

Est-ce que j'ai à peu près saisi le principe ?
 
Si oui, quel est l'intérêt mathématique de cette congruence ?

Plein ! Tous les algorithmes de chiffrement reposent sur de l'arithmétique
modulaire !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_modulaire#Cryptographie

--
"Ce qu'il faut au fond pour obtenir une espèce de paix avec les hommes,
(...) c'est leur permettre en toutes circonstances, de s'étaler, de se
vautrer parmi les vantardises niaises. Il n'y a pas de vanité
intelligente. C'est un instinct." - Céline