Sujet : Re: limite à calculer
De : talon (at) *nospam* niobe.lpthe.jussieu.fr (Michel Talon)
Groupes : fr.sci.mathsDate : 12. Jan 2025, 10:39:29
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Le 11/01/2025 à 17:41, efji a écrit :
La solution proposée par ChatGPT est correcte mais incomplète, comme je l'ai déjà dit. La partie manquante peut se faire en encadrant le terme qui n'est pas traité, mais il faut le faire avec soin.
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Un début de preuve. Il s'agit d'estimer 1/n! * integrate(t^n*exp(-t),t,n,inf).Pour celà appliquons la méthode du col à l'intégrand exp (f(t)) avec f(t)=-t+n*log(t). On a f'(t) -1+n/t et f''(t)=-n/t^2. Alors f' s'annule pour t=n et f'' vaut -1/n à cet endroit. La méthode ducol consiste à remplacer l'intégrand par un courbe en cloche centrée en t=n de la forme exp( -n +n*log(n))*exp ( -(t-n)^2 /n ) de -inf à +inf. Ce qui donne sqrt(2*%pi*n)*(n/e)^n. Notons que ceci ressemble à la formule de Stirling et qu'il faut diviser par n! donc la limite quand n -> inf est exactement 1. Mais alors il faut remarquer que le centre de la courbe en cloche est exactement la limite basse de l'intégrale donnée, et qu'on intègre donc uniquement sur la moitié de la cloche, le résultat est donc 1/2. Pour finir de prouver la valeur de la limite il suffit donc de justifier l'utilisation de la méthode du col, ce qui fait partie de sujets classiques, mais est probablement assez long. Au total la preuve de cette limite est donc assez compliquée, la première étape est la partie triviale.-- Michel Talon
limite à calculer
Re: limite à calculer