Re: Les nombres imaginaires

Le 16/01/2025 à 00:18, efji a écrit :

Le 15/01/2025 à 23:37, Richard Hachel a écrit :

Pourtant, bien que cela ne soit pas possible dans R, on utilise cette notation,

 Non !
On n'utilise jamais le symbole radical de -1 pour i. Jamais.

Jamais, oui, mais (j'espère) *maintenant*. Mais ça s'est vu pas mal avant qu'on mette tout ça bien à plat et même un peu plus tard.
Et ça marchait pourtant. Certes maintenant on sait pourquoi : si on définit i comme la classe d'équivalence de -X au lieu de X, on obtient un ensemble isomorphe (C\bar ~ C), ou avec la construction que tu as pointée, on peut permuter 1 et -1 dans la définition de i en tant que matrice, l'ensemble obtenu est isomorphe au premier.

Le radical désigne la racine positive d'un nombre réel, ce qui rend le symbole univoque. Pour les complexes on ne peut pas le rendre univoque, donc on ne l'utilise pas. Ouvre un livre pour une fois.

Tu en demandes trop, beaucoup trop, à Lengrand. La seule chose qu'il sait ouvrir c'est sa gueule.
Ceci dit la notion de *détermination principale" pour la racine carrée existe même en dehors de R+, dans tout Z : si z = |z|.exp(i theta), alors sqrt_dp(z) = sqrt(|z|).exp(i theta/2)
Ce qui donne, par exemple, sqrt_dp(-1) = (1+i)/sqrt(2) mais le modulo 2pi sur theta qui ne change rien à z, va faire que ça ne marche pas terrible et que l'on perd pour sqrt_dp dans C les propriétés habituelles de sqrt dans R+. Idem pour le log. Mais tu sais certainement tout ça tout autant, probablement même plus, que moi.
Ce qui n'a pas vraiment d'importance au fond, qu'il y ait une racine privilégiée ou pas n'a guère d'importance. Dans C on parle toujours au pluriel : *les racines n-ièmes" de ... parce qu'on raisonne sur des ensembles de racines n-ièmes, pas des valeurs uniques.
Hachel s'est bloqué sur ce sujet, sans doute dans sa classe de Terminale. Et vu sa mentalité pathologique mégalomaniaque, mythomane et histrionique il est assez vain, même si je sais que l'on va essayer, de lui sortir de la tête que s'il n'a pas compris alors, puis qu'en étude de médecine il n'est pas revenu dessus, c'est parce qu'il est un génie divin et que tous les mathématiciens depuis des siècles sont des idiots.
Ainsi va la vie, pathétique, de Richard Lengrand. Heureusement qu'il n'est plus en exercice, comme médecin j'entends. Je me demande combien de vies et d'états de santé il a compromis avec une telle mentalité...