Re: [SOLUTION] Biaiser les probabilités

Le 30/01/2024 à 16:59, Olivier Miakinen a écrit :

[Supersedes pour corriger le titre]
 Le 28/01/2024 11:11, Julien Arlandis a écrit :

 Vous disposiez d'un ticket composé de N cases à gratter, chaque case représente soit un gain soit une perte avec une probabilité de 1/2. Le jeu consiste à miser sur n'importe quelle case non grattée et pour faire votre choix vous avez la possibilité de gratter autant de cases que vous le désirez (dans la limite de N-1 sinon vous ne pouvez plus jouer).
La question est la suivante : existe t-il une stratégie qui permette de gagner avec une probabilité strictement supérieure à 1/2 ?

 Je vais prouver par récurrence que l'on ne peut pas faire mieux que miser
sur une case au hasard et ne gratter que celle-là. Et que ce résultat est
vrai même si on sait au départ combien de cases de la grille sont gagnantes
(donc par exemple une grille équilibrée avec N/2 cases gagnantes et N/2
cases perdantes).
  Définissons une fonction de choix c(n,*) à valeurs dans [0, 1]. Le premier
paramètre n est le nombre de cases non encore grattées, mais il peut y avoir
d'autres paramètres (que je note *), par exemple le nombre de cases gagnantes
nos grattées (si tant est qu'on connaisse ce nombre), ou bien le nombre de
cases gagnantes ou perdantes déjà grattées.
 Si c(n,*) = 1, on mise sur la prochaine case et on la gratte.
Si c(n,*) = 0, on gratte une nouvelle case sans avoir misé dessus.
Si c(n,*) est strictement compris entre 0 et 1, alors on tire au hasard pour
savoir si on doit miser (avec la probabilité c(n,*)) avant de gratter la case
suivante.
 J'impose juste que c(1,*) = 1 parce que le contraire serait stupide, mais
pour n > 1 je te laisse choisir c(n,*) comme tu veux.
  Je vais prouver par récurrence que pour tout n, si g est le nombre de cases
gagnantes parmi les n cases restantes, alors la probabilité de gain est égale
à g/n quelle que soit la stratégie c(n,*).
  Tout d'abord, si n=1, c(1,*) valant 1 on est forcé de miser, et on gagne si
g=1 tandis qu'on perd si g=0. On vérifie bien dans ce cas que la probabilité
de gagner est g/n (c'est-à-dire g puisque n=1).
 Supposons maintenant que l'hypothèse est vraie au rang n-1, et vérifions la
au rang n. On choisit de miser avec une probabilité c(n,*) et de ne pas miser
avec une probabilité (1 - c(n,*)).
 Si on mise, on gagne avec une probabilité g/n.
 Si on ne mise pas, on se retrouve alors dans l'un des deux cas suivants après
avoir gratté :
− (n-1, g-1) avec une probabilité g/n
− (n-1, g) avec une probabilité (n-g)/n
 D'après l'hypothèse de récurrence, la probabilité de gagner devient alors :
− (g-1)/(n-1) dans le premier cas
− g/(n-1) dans le second cas
  On peut maintenant calculer la probabilité de gagner depuis (n, g) :
proba = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × (g/n × (g-1)/(n-1) + (n-g)/n × g/(n-1))
      = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × (g(g-1) / n(n-1) + g(n-g) / n(n-1))   (*)
      = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × (g(n-1) / n(n-1))
      = c(n,*)×g/n + (1 - c(n,*)) × g/n
      = g/n
 Ce résultat démontré par récurrence est complètement indépendant de la fonction
de choix, CQFD.

Merci pour ce travail.
J'ai encore quelques questions qui me permettraient de mieux intuiter ce qui se passe.
Pourrais tu calculer la probabilité de perdre et de gagner en misant sur la dernière case ?