Re: Etude des nombres complexes

Le 23/01/2025 à 21:01, Julien Arlandis a écrit :

Le 23/01/2025 à 11:09, Richard Hachel  a écrit :

 Bon, les maths, c'est pas trop mon truc, mais j'aime bien m'amuser un peu.
  On trace la courbe y=x²+4x+5.
  Cette courbe, je l'ai choisie à dessein, pour qu'elle n'ait pas de racines. C'est mon caractère ignoble
et sale qui veut que j'ai fait cela (comme Python l'a fort bien compris).   Demander les racines d'une équation qui n'a pas de racines, c'est vrai, il faut être tordu.
  Mon mea culpa étant fait, allons plus loin.
  On a beau gratter, gratter, gratter, il n'y a pas de racine.    Nous allons alors rechercher des racines complexes, et nous obtenons x'=-2+i et x"=-2-i
  Où placer ces points sur l'abscisse des x?   Nous allons prendre la courbe miroir en son sommet.   Et nous obtenons y=-x²-4x-3
  Cette courbe miroir va évidemment traverser l'axe y=0, et donner deux racines.    x1=-3 x2=-1
  Ooooh, c'est les mêmes!!!

 Seulement si tu considères que i est pareil à 1, ce qui n'est pas le cas.

 Non, ce n'est pas le cas, on ne peut pas dire que i=1 (ni que i=-1).
 Simplement, je posais la question de savoir ce que c'était que i, et il semblerait que partout, sur les manuels, sur les réponses des internautes, sur les pdf, les réponses se limitent à dire que i est un nombre imaginaire, dont le carré est -1. Ce nombre sert à créer un nombre imaginaire z qui aurait une partie réelle, et une autre, multiple de i, qui serait imaginaire. Ce n'est pas que je conteste (encore que je me pose des questions sur les divisions et sur les produits de nombres complexes), mais je trouve que la définition est un peu indirecte.
Un peu comme si un enfant me demandait "monsieur, qu'est ce que c'est que le chiffre 3, et que je répondais "eh bien, la définition du chiffre 3, c'est la racine cubique de 27". J'aurais aimé une réponse plus directe. J'en arrive à me demander, si (et ça marche super-bien en mathématique statistique, comme dans le cas du problème de Plougastel), on ne pourrait pas considérer que i est une sorte de nombre imaginaire très utile,
qui n'est pas réellement un nombre, mais deux nombres à la fois, un peu comme le chat de Schrödinger, à la fois mort et à la fois vivant, tant qu'il nous manque une donnée. Soit i=1 et à la fois i=-1.
Cela est alors utile pour dire que si j'entre à l'improviste dans le cours de madame Martin du collège de Plougastel, je vais trouver z élèves, avec z=16+9i
On voit ici que z vaut à la fois 7 et à la fois 25.
Si j'entre le matin, j'ai 25 élèves, le soir, seulement 7 adultes pour le cours du soir de rattrapage pour adultes.

 Il semble donc que les racines imaginaires d'une courbe qui n'a pas de racines réelles soient les racines réelles de sa courbe miroir.    Un peu comme l'ombre projetée sur y=0 par une courbe miroir imaginaire.   R.H. 

 La courbe "miroir" au sens tengente par son extremum de y(x) = a.x² + b.x + c est λ(x) = -a.x² - b.x - b²/(2a)+c

 Oui, les deux courbes se touchent en (-2,1) car on sait que la dérivée y' des deux équations donnent un sommet à cet endroit.  Reste à calculer c, qui est égal à [b²/2a]+c et la courbe miroir devient :
λ(x) = -x²-4x-3
 Qui donne deux solutions réelles (x=-3) et (x=-1)

Si tu calcules les racines respectives de y et λ tu obtiens (-b±√Δ)/(2a) et (-b±√-Δ)/(2a) qui sont les mêmes si tu considères que i=1 et ensuite ?

 On peut noter, que si l'on pose z=-2+i pour la première courbe, cette racine seule suffit si x=1 ET si x =-1 (il peut prendre les deux valeurs).  Bref que les racines imaginaires d'une courbe sans racines sont celles de l'imagination d'une courbe en miroir.  A noter surtout ce qui me semble être une bizarrerie dans les calculs faits avec les imaginaires, autant les additions ne me posent pas de problèmes, autant pour les produits et les quotients, je trouve que quelque chose tique.
 Pour les additions, c'est très simple:
Z=z1+z2 Z=(a+a')+i(b+b')
Pareil pour le soustraction de deux nombres complexes.
Z=z1-z2
Z=(a-a')+i(b-b')
Mais pour les produits, je n'ai pas :
Z=z1*z2=aa'-bb'+i(ab'+a'b)
mais Z=z1*z2=aa'+bb'+i(ab'+a'b) qui me semble plus logique, et compatible avec la science statistique (voir le problème de Plougastel où l'on demande de former des couples garçons et filles). Et pour les quotients (forcément la même erreur si l'on se trompe sur les produits):
Z=z1/z2 Z=(aa'-bb')-i(ab'-a'b)/(a'²-b'²)
R.H.