Re: Produit de nombres complexes

Le 28/01/2025 à 18:47, kurtz le pirate a écrit :

On 27/01/2025 14:09, Richard Hachel wrote:

Mais là, une bourde énorme va avoir lieu.
 On va poser i²=-1 sans réfléchir, parce qu'il est "connu" que i²=-1.
Mais on met la charrue AVANT les boeufs. Si l'on veut un bon attelage, il faut d'abord amener les beufs, puis pousser la charrue derrière les boeufs. L'inverse n'étant pas du tout pratique, et les boeufs refusant de reculer vers la charrue.

 Et toi, tu réfléchis avant d'écrire ?

 Oui, il m'arrive même parfois de réfléchir à des choses pendant quarante ans avant de les dire, ou de les répéter invariablement parce que je les crois justes.

ℂ est construit comme une extension de ℝ, pour résoudre les équations algébriques de degré 2 à discriminant négatif comme x² + 1 = 0.

 Absolument.
 De même que l'équation y=x²+4x+5 qui n'a pas de racine réelles, mais dont on peut donner deux racines complexes qui sont z1=-2-i et z2=-2+1  Vous avez absolument raison.

Or on avait remarqué que si on était placé dans un corps ou cette équation pouvait être résolu, alors toutes les autres du même type pouvaient l'être aussi.

 Il suffit de faire intervenir i² dans le discriminant, et par exemple sqrt(-4) devient sqrt(4i²) et le discriminant devient 2i.  Ce que vous dites est tout à fait juste.

 Il doit donc exister un élément i de ℂ (et non de ℝ) tel que i² = - 1.

 C'est sur ce point là que j'aimerais revenir.
 Qu'est ce qu'alors que cet i² fort utile, mais que l'on ne définit pas très bien sinon par une astuce du style "qu'est ce que 3? c'est la racine cubique de 27". Certes. Mais ça ne nous dit pas clairement ce que c'est que 3.  Lorsque je regarde mon schéma avec ma parabole, mes x, et mes y, je me rends compte qu'il faut placer mon nombre complexe sur l'axe x'Ox qui contient toutes les racines habituelles en y=0.  Personnellement, je n'ai pas de problème pour les placer, et, par exemple, les deux racines imaginaires
de y=x²+1, je les pose en (-1,0) et (+1,0) même si ma courbe ne passe pas là (c'est son reflet imaginaire qui passe là).
 Idem si je pose y=x²+4x+5, il n'y a pas de racines, mais sa courbe miroir imaginaire y=-x²-4x+3 passe en (-3,0) et (-1,0) qui sont les deux racines imaginaires , et que l'on peut écrire x'=-2-i et x"=-2+i.
 Jusqu'ici, tout va bien, ce n'est pas difficile à comprendre.  Maintenant que cela est compris (si l'on fait l'effort surhumain de me suivre), qu'est ce que z=a+ib? C'est un nombre. Comme 27, 16, 12, -4. Ou plutôt, c'est très étrange pour l'écolier, un nombre qui serait à la fois deux nombres.  Par exemple que vaut z=16+9i? Où puis-je le placer sur mon dessin, si l'on me dit que c'est une racine de la courbe miroir?
 Eh bien, c'est à la fois 25 et à la fois 7. Un peu comme le chat de Schrödinger qui est à la fois mort et vivant.
 z n'est rien d'autre que la quantité de x, dans l'expression, A(x,y) ou B(x,y) ou M(x,y) avec ici :
A(7,0) et B(25,0) racines de la courbe imaginaire miroir, et que l'on peut aussi écrire (16+9i,0) pour les deux points.
 

De là on trouve toutes les règles de calcul usuelles avec les complexes pour assurer la conservation des propriétés algébriques de corps, d'anneaux ...
 +--------------------------------+
| Donc i² = - 1 par construction |
+--------------------------------+

 Jusqu'ici, je n'ai pas de problème.
 On peut même pratiquer la somme ou la soustraction de complexes ainsi définis.
 Exemple (a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')
 Il n'y a là aucune difficulté.
 Un bon collégien pourrait le faire.

De grand mathématiciens (comme Euler pour ne pas le citer) ont réfléchi bien avant toi (et moi bien sûr).

 De grands théoriciens comme Descartes (dont les ouvrages d'époque fourmillent d'erreurs), Minkowski, ou même Newton (voir sa controverse avec Berkeley) ne sont pas exempts de reproches.

Preuve mathématique de discordance de résultat:
Mathématiciens : z1=16+9i  z2=14+3i
Z=197+174i
 Hachel Z=251+174i
 On voit que la partie réelle n'est pas du tout la même.
 

 Mais ça, ce n'est pas une preuve. C'est juste une rêverie de ta part.

 Non.
 Et tu vas tout de suite t'en rendre compte, si tu comprends mon optique.
 Suis bien le raisonnement, car en entrant dans les produits et les quotients, on touche le coeur de mon problème.
 Z=z1*z2
 z1=16+9i et z2=14+3i
 Je vais alors travailler avec précaution et sans simplification fausse, inutile, ou illogique.
 (16+9i)(14+3i)=(16*14)+(16*3i)+(14*9i)+(9i*3i)
 L'immense piège, ici, c'est de poser directement, 9i*3i=27i² sans plus comprendre ce que c'est que i.  Que représente a et que représente i?
 a est le réel qui, en somme, est la moyenne de (a+ib), et i est une sorte de tenseur symétrique à la moyenne. Il peut prendre la valeur -1 et la valeur 1 en même temps.
 MAIS, et c'est là que je supplie mon auditoire de faire très attention, il va se passer le même chose que si tu ouvres la boite du chat de Schrôdinger, ton i ne peut plus être à la fois +1 ou -1, si tu lui donne une valeur précise.
 Si tu dis que c'est -1 (racine gauche), ton équation devient : (16+9i)(14+3i)=(16*14)+(16*3i)+(14*(-9)+(9i*(-3))
C'est à dire aa'+bb'+i(ab'+a'b)
 Et si tu dis que c'est +1 (racine droite) ton équation devient exactement la même chose. (16+9i)(14+3i)=(16*14)+(16*3i)+(14*(+9)+(9i*(+3)) =  aa'+bb'+i(ab'+a'b)
 Ainsi, il me parait manifeste que quelque chose ne tourne pas rond dans les définitions et dans les concepts, et je te laisse le soin d'y réfléchir si tu es curieux.
 

  On pourait aussi écrire : Z = (16*14) + (9*3) i = 224 + 27 i.

 Oui, on pourrait. Mais je ne le ferait pas, ni toi non plus, car cela serait fantaisiste, et on ignorerait sans raison les croisements des facteurs de la multiplication.
 Or, tant qu'à rechercher, préciser, déterminer, critiquer, autant le faire intelligemment.
 Posons donc (16+9i)(14+3i) comme nous l'avons fait pour le problème des élèves de Plougastel.  On obtient donc, avec ma méthode, Z=224+174i+27
 Soit donc Z=251+174i
 Quel est Z? il est le nombre qui est à la fois 425 et 77.
 On va dire, quelle est l'intérêt dans les courbes? La réponse est évidente, nous avons une courbe miroir imaginaire qui va traverser l'axe des x, en deux endroits.  De même que je ne sais pas encore si le chat de Schrödinger est mort ou vivant, tant que je n'ai pas ouvert la boite, je ne sais pas quelle sera la valeur de x si je ne sais pas si l'on me demander de déterminer la partie de gauche ou la partie de droite de la courbe.

Cette opération pourrait exister mais alors, le corps n'est plus muni de la "multiplication" de base mais d'un nouvel "opérateur" pour lequel il faudrait vérifier si cette nouvelle structure algébrique est commutative pour que ℂ' soit aussi un corps commutatif.

 Je travaille sur énormément de choses (théologie, politique, relativité, criminologie, etc...).
 J'aimerais bien m'occuper de ça, mais je suis assez moyen en maths, et le temps me manque.
 J'ai vérifié l'intérêt des bases que je donne ici par la statistique et les lois des probabilités,
il va de soi que tout est correct et qu'on retombe sur les mêmes nombres au chiffre près.
 Maintenant, parlons des quotients, j'ai également donné les bons correctifs : Z=z1/z2 Z=[(aa'-bb')-i(ab'-a'b)]/(a'²-b'²)
Je te laisse vérifier la cohérence de l'ensemble, et le soin d'écrire un petit article si tu trouves des choses intéressantes.  Je serais par contre très étonné qu'il y ait des biais dans ce que j'ai écrit, et que tu peux vérifier voire porter plus loin si tu le désires. R.H.